《怎样学丛书：怎样学数学》.刘绪占.文字版.pdf
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2014年11月10日
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目 录
第一章 热爱·兴趣·勤奋 ! ………………………
第二章 数学概念— — —数学的源头 ! ……………
第三章 符号语言— — —最简炼的数学
语言 ……………………………………
第四章 公式、 定理、 法则— — —解决数学
问题的工具 % ……………………………
第五章 数学方法— — —数学解题的
杠杆 ……………………………………
第一节 配方法 ……………………………
第二节 换元法 ……………………………
第三节 待定系数法 ………………………
第四节 数学归纳法 (! ………………………
第六章 数学思想— — —数学解题的灵
魂 ………………………………………
第一节 什么是数学思想 …………………
第二节 几种深层次的数学思想 ) …………
第七章 数学能力— — —解决问题的
才智 !%! ……………………………………
第一节 运算能力 !%! …………………………
第二节 空间想象能力 !’ ……………………
第三节 思维能力 !! …………………………
第四节 应用能力 ! …………………………!第八章 解题— — —数学的心脏 ! …………………
第一节 解题的思维过程 ! …………………
第二节 怎样解题 % …………………………
结束语— — —名家论谈’ ……………………………!编者絮语
最近，湖北教育出版社的同志邀约我写一本
《怎样学数学》的课外读物，给中学生及数学学习
者谈一谈怎样学数学的问题，我欣然接受了这一邀
请! 因为我无数次地听到学生和家长向我提出过同
一个问题：怎样学数学!
撰写《怎样学数学》 ，对我是一个督促，促使
我坐下来认真地思索这一个无数次要求我回答而又
未能给出令人满意的答案的问题，对我也是一个鞭
策，促使我总结自己近四十年从事数学教学的经验
和体会，在我即将退休之际，交上一份较系统、完
整的答卷!
要学好数学，与要做好其他任何一件事情一
样，要热爱它，要对你做的事情产生兴趣，要有勤
奋钻研的精神，这是第一点，本书开篇表述了我的
这一观点!
第二，要学好数学，与学习其他任何一门科学
知识一样，要打好基础，如同建造房屋要夯实地基
一样，基础赵深越牢，房屋才能建造得越高!
数学的基础包括：基本概念、数学语言、数学!命题(数学公式、定理、法则等) 、基本数学方法、基本数学思想! 它们都是继续学习其他课程以及参
加生产劳动和实际工作所必备的数学知识与技能，本书在第二、三、四、五、六章分别对上述基本知
识、基本方法和基本技能作了阐述，从“是什么，为什么，怎么办”等方面作了详尽的剖析，以利于
读者领悟基础，加速掌握!
第三，本书第七章，以较大的篇幅阐述了数学
能力! 培养数学能力，是中学数学教学大纲中规定
的重要教学目的之一! 什么是数学能力？有哪些数
学能力？如何培养和提高数学能力？本书进行了深
入浅出的探讨，对数学的四大能力：运算能力、空
间想象能力、思维能力和应用能力的含意、要求、培养方法与途径作了精辟的阐述!
第四，学数学的绝大多数时间花费在解题上，可以说，解题是数学学习的心脏! 本书第八章是关
于数学解题! 书中揭示数学解题的思维过程，例说
解题的四个环节：审题、探索、表述和回顾，采用
“分镜头” 、“慢镜头” 、“特写”等手段，把思维
“暗箱”打开，让一个个成功的解答是如何蕴酿、萌芽、形成、开花和结果的过程暴露在读者面前，并以一道常见题作示范，展现如何审题、如何思
索、如何表述、怎样反思，显示了解题的全过程!
或许，你在阅读本章以后，能够领略解题的乐趣，品味解题的甘甜!
常常听到学生本人说或者家长讲自己的孩子，!上课都听懂了，为什么考试又总考不好呢？要回答
这个问题不难，是因为学生或他们的家长还不了解
数学学习的全过程!
我经常在不同的场合讲述一个观点，学习数学
有四个阶段：懂— — —会— — —熟— — —活! 你上课听懂
了，自己动手并不一定会做，俗话说： “看事容易
做事难!”由“懂”到“会” ，有一个过程，要动
手，要实践，才能学会，才能掌握! 又有同学说：
“平常的作业会做，怎么考试时又不会做了呢？ ”或
者说： “这道题我一出考场就会做了!”这是真实情
况! 因为平常说的“会做” ，往往是模仿性地做，一法一题地学着做，老师课堂上讲什么，课下你就
做什么，有法可依，有章可循! 而考试则不然，考
题一般不指明该题属于什么类型，要用什么方法!
考题涉及的知识面广，常常有一定的综合性，需要
你对知识和方法的掌握要比较牢固，能举一反三，融汇贯通，这是其一；再则，平时作业量少，一个
小时做三五道题，而考试则常常要求一个小时做十
几道题，平时不熟练，考试就会感觉时间不够! 所
以，平时训练，不能仅仅满足于“会” ，而且要
“熟” ! 尤其是基础的东西，不能只是“懂”和
“会” ，要立足于“熟” ，这是学好的决窍，熟了，自然就活了，熟能生巧嘛! 熟了，才能运用自如，得心应手，左右逢缘! 其实，这不仅仅是我这么
讲，数学名家们也都是这么讲的! 请你认真读一读
这本书的结束语— — —名家论谈，你将从中受到极大!的启发!
在撰稿的过程中，参阅了一些资料与专著，在
此向有关作者一并致谢! 由于本人水平有限，缺点
和错误在所难免，不当之处，敬请读者不吝赐教，本人不胜感激!
刘绪占!!年 月于武汉!第一章 热爱·兴趣·勤奋
数学， 是一门古老而年轻的科学!
两千多年前的古希腊人， 就创立了以公理化体
系为基础的逻辑数学， 更早几百年， 我国商代商高就
发现了勾股数： “勾三、 股四、 弦五” !
从!世纪开始兴起的变量数学， 尤其是 ! 世
纪中叶至今的一个半世纪， 数学经历了深刻的形象
化与抽象化的改造与提炼， 业已发展成今天拥有上
百个分支的庞大知识体系， 它的内容、 思想、 方法乃
至语言都广泛地渗入到社会科学和自然科学的各个
领域!
数学原本是有着它的现实原型和广泛应用的科
学， 但是， 在我国传统的教材中， 内容的公式化， 解题
方法的模式化， 加上数学方法的机械化忽视了它的
现实原型和应用!更由于高考中偏题、 难题的负面影
响， 使学生面对题海难于突围， 一些学生对数学学习
不感兴趣， 甚至厌烦!
一、 热爱— — —学习数学的动力!年底， 美国及其盟国在实施 “沙漠风暴” 行
动打击伊拉克之前， 伊拉克人曾扬言， 如遇进攻就要
烧掉科威特的油井!为此， 美国国防部要求太平洋!— — —赛拉研究公司研究伊拉克点燃油井后对世界环
境的影响!该公司利用纳维尔— — —斯托克斯方程和
有热损失的能量方程作为计算模型进行计算， 得出
结论： 大火的烟雾可能招致一起重大的污染事件， 它
将影响到波斯湾， 以至伊朗南部、 巴基斯坦和印度北
部!但是， 不会造成全球性气温变化， 也不会对地球
生态和经济系统造成无法挽回的损失!这一判断， 使
美国决策人下决心实施 “沙漠风暴” 行动!
这一实例说明， 数学在现代战争中有着举足轻
重的作用!有人说， 第一次世界大战是 “化学战” (火
药) ， 第二次世界大战是 “物理战” (机械) ， 现代战争
是 “数学战” (信息、 计算机) !
数学， 以应用的广泛性为其特点之一!
小至日常生活中柴米油盐酱醋茶的买卖、 利率、保险、 医疗费用的计算， 大至天文地理、 环保生态、 信
息网络、 质量控制、 管理与预测、 大型工程、 农业经济
均大量存在着运用数学的踪影!
举例来说， 长江三峡枢纽工程是举世瞩目的!按
照设计， 三峡工程水电装机总容量为 ! 万千瓦，年发电量为 %亿度， 建成后的三峡大坝， 将是一座
高达米、 长近 米的混凝土拦江大坝， 简直
是一座混凝土的小山!建造如此宏伟的工程， 要解决
无数难题， 其中最重要的问题之一是大体积的混凝
土在凝结过程中化学反应产生的热量!这种巨大的
热量将危及大坝的安全!我国科学家自行研制的可
以动态模拟大体积混凝土的施工的温度、 应力和徐
变的计算机软件， 可以用来分析、 比较各种施工方
案， 设计最佳的施工过程控制， 还可以用来对大坝建!成后的运行期进行监控和测算， 以保障大坝的安全!
在长江三峡大坝的建设中， 可以说数学功不可没!
再举一个例子： 我国研制原子弹， 试验次数仅为
西方国家的十分之一， 从原子弹爆炸到氢弹研制成
功， 只花了 ! 年零 个月， 大大低于美国所花的时
间， 其原因之一是选派了许多优秀数学家参加了研
制工作!
%年， 华罗庚教授精彩地指出： “宇宙之大，粒子之微， 火箭之速， 地球之变， 生物之谜， 日用之
繁” 无一能离开数学!
还应指出的是， 数学的作用， 并不仅仅是解决当
务之急， 常常有这样的情况， 数学中一个性质的发
现， 一个理论的产生带来的效应并不一定立竿见影，有的是几十年、 几百年甚至更久远的时候才能找到
它的应用!
古希腊人创立的几何体系， 是人类理性文明的
结晶， 在当年谈不上什么用场， 可它偏偏成为 !
多年以后的现代人必备的知识!
世纪， 意大利数学家卡丹尔把 分解为 (% %) ( ! % ) ) %) ， 尽管他自己也认为这样的数
“不精致又不中用” ， 但这是虚数的萌芽!数学家吉拉
德支持了卡丹尔的见解， 提出 “虚数可以作为方程的
形式解” !虚数的出世， 开始就受到嘲弄和打击， 包括
一些有名望的数学家的干预： “不可思议” “纯属虚
构” !经过 ! 多年几代数学家的艰苦努力， 人们才
揭开了蒙在虚数头上神秘的面纱， 当年被认为是 “虚
无漂渺” 的数， 早已成为科学技术中的基本量!
人们在发现了太阳系的第七颗行星— — —天王星!以后， 观察它的运行情况， 感觉与理想的不一致， 违
背了 “规律” !天文学家勒维列猜想： 这是由于天王星
外行星的引力所引起的!他根据引力法则， 通过复杂
的数学计算， 终于推算出在天王星轨道外存在新的
行星， 根据勒维尔预示的位置， 天文工作者终于找到
了太阳系第八颗行星— — —海王星， 人们称它为 “铅笔
尖上的行星” !!世纪最伟大的科学家爱因斯坦创立广义相
对论的时候， 遭遇了一个难题， 他无法从理论上解释
自己的发现， 让他一筹莫展!在友人的提示下， 他找
到了黎曼几何， 解决了这一难题!原来， 早在半个世
纪以前， 德国数学家黎曼凭自己的兴趣， 追踪几何内
部的矛盾， 把对三维空间的研究推广到 维空间，革新了几何观念， 创立了新的几何— — —黎曼几何， 就
像是为爱因斯坦的相对论准备的理论基础!
诺贝尔物理奖获得者温伯格曾感叹： “当一个物
理学家得到一个思想时， 然后却发现在他之前数学
家已经发现了!”
数学的应用如此广泛、 深远!
改革开放以来， 我们的祖国发生了翻天覆地的
变化， 各项事业突飞猛进， 人民生活水平大大提高!
但是， 我们还应看到， 与世界经济强国比， 我们还差
得很远!拿国民生产总值来说， 美国一年是 ! 万亿
美元， 而我国只有 万亿美元!我们与美国的差距主
要还在科学技术!而今， 国际上有一种说法： 高新技
术的基础是应用科学， 而应用科学的基础是数学!为
了强国， 我们绝没有理由不学好数学!
热爱数学吧， 它会给你以动力!!二、 兴趣— — —最好的老师
中国古代教育家孔子说过： “知之者不如好之
者， 好之者不如乐之者!” 这表明兴趣是最好的老师!!!年， 一位 !岁的法国士兵在荷兰布莱达地
区的一块招牌上， 看到了一道有趣的带有挑战性的
数学问题， 他便怀着极大的好奇心钻研起来， 并终于
解决了这道数学趣题!他因此受到了莫大的鼓舞， 坚
信自己的数学才华， 从此， 他与数学结下了不解之
缘!这位年轻人就是法国的大数学家笛卡尔!笛卡尔
建立了直角坐标系， 创立了解析几何， 为数学的发展
作出了不可磨灭的贡献!
翻开众多科学家的传记， 可以发现， 不少人的发
明与创造， 往往与其兴趣和好奇分不开!
“哥尼斯堡七桥问题” ， 引起了 !%世纪享有盛名
的伟大数学家欧拉的兴趣， 他绝妙地解决了千万人
解决不了的难题， 并在此基础上， 开创了一门新的数
学分支— — —拓朴学!
我国著名数学家陈景润， 由于受他的中学数学
老师所讲述的 “哥德巴赫猜想” 这一难题的诱惑， 以
惊人的毅力， 花费了 多年的时间钻研数论， 到达
了当今摘取数学皇冠上这颗美丽灿烂明珠的最前
沿!
说起美， 人们马上会想到描绘人和自然的图画
美， 令人陶醉的音乐美， 雄伟壮丽的建筑美， 但对数
学的美， 并不为大多数人所了解!
美国数学家克莱因说： “哪里有数学， 哪里就有!美” ， 这话一点也不过分!
人们用最美的词句赞美数学： “自然科学的皇
后” “皇冠” “明珠” “稀世珍宝” “巍峨的阶梯” “金碧辉
煌的宫殿” “人造宇宙” “无限真与美的王国” 等， 这些
一点也不夸张!
概括地说， 数学的美表现在它的简捷和明快， 统
一又和谐， 对称且严谨， 奇异而抽象!! 简捷美
音乐家用 !、 、 、 、 %、 、 这七个音符谱写旋律
优美的乐章， 数学家用 (， !， ， …， ) 这十个阿拉伯数
字编织了无限数的空间， 用点、 线、 面这三种基本元
素构筑了美丽的形的大厦， 规定用最简单的工具
— — —圆规和无刻度的直尺作出了无数复杂的图形，对人类的智慧提出挑战!
古希腊毕达哥拉斯学派认为 “一切立体图形中
最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形” !这
个观点有一定的道理：
除了直线， 圆是最简单的图形；
圆有着全方位的对称性；
圆的近亲是直线， 因为它们有着相同的性格， 直
线是构成直线形的基本材料， 而圆是产生椭圆、 双曲
线、 抛物线和其他一些曲线之母， 直线有着 “最近” 的
属性， 而圆具备相同面积的区域的最短边界!
圆的周长 与直径 之比是常数!， 这种关系
可简明地表示为 !， 其面积 与半径 % 的关系
为 !%
， 如此简朴!
但圆有着它倔强的个性： 无论怎样割补， 总也不!能拼成正方形!
球具有和圆类似的特征!
形式十分简单的二次函数 !
(!) ， 体现
着世间许多事物的共同关系： 圆的面积公式 % !!
； 自由落体运动 !
； 爱因斯坦的质能公式
! +,
， 它的曲线既可描绘投掷物体的路径， 又可
刻划天体运动的轨道……诸多事物的共性汇聚于这
么一个简单的函数关系式之中， 难道有什么比数学
更简捷， 更完美的吗？! 统一美
人类社会错综复杂， 自然界千奇百怪， 但数学能
从深层次去揭示其内在联系与本质特征!
三角形内角和为 % -， 多边形外角和为 -， 直
角三角形三边长满足勾股定理， . 次方程都有 . 个
根!
“勾三股四弦五” 是 “勾股数组” 的一颗晶莹透亮
的明珠， “勾股数组” 又是勾股定理的特例， 而勾股定
理又被余弦定理所包含!
自然数— — —整数— — —有理数— — —实数— — —复
数， 在数的家族不断扩大的进程中， 既统一又和谐，层次清楚， 关系严谨!
初中数学中的正比例函数 ! ， 反比例函数 !
， 二次函数 !
等， 原来都是幂函数 !
的
子民!
圆锥曲线是继圆以后人们最早认识的一类曲
线， 对它的研究已有 多年的历史了， 它的内容!虽然古老， 但对近代和现代数学有着深刻的影响!
椭圆 (含圆) 、 抛物线、 双曲线都是平面与圆锥曲
面的交线， 其名称因此而获得；
在直角坐标系中， 圆锥曲线的方程都是二次的；
它们的形态各异， 但有着统一的定义： 到一定点
与一定直线距离之比 等于正常数的点的轨迹， 并
有着严格的界限， 不可逾越：! 时， 曲线是椭圆， 时， 曲线是抛物线， % 时， 曲线是双曲线；
在极坐标系中， 圆锥曲线有着统一而简捷的方
程!
；
更奇妙的是， 宇宙的天体运动、 人造卫星以及宇
宙飞船的运行轨道， 都是这四种曲线之一!
虽然， 它们有着不同之处： 椭圆和双曲线有两个
焦点 (圆的两个焦点视为重合) ， 抛物线只有一个焦
点， 但是如果固定椭圆和双曲线的一个焦点和相应
的顶点， 让另一焦点无限远离， 那么， 它们会各自逼
近抛物线!于是， 我们有理由认为： 抛物线也有两个
焦点， 第二个焦点在无穷远处!! 对称美
圆、 等腰三角形、 正方形、 五角星都是对称图形，它们都有对称轴， 有的还成中心对称!
正多面体、 正棱锥、 圆柱、 圆锥、 圆台、 球都具有
对称性!
对称图形给人以庄重美， 我国的古代建筑大多
有对称的风格： 宏伟的天安门， 庄严的人民大会堂，!巍峨的故宫， 人民英雄纪念碑……
我国三国时期数学家赵爽用如图 !—! 的对称
图形证明了勾股定理， 其构思十分简捷：
图 ! !
显然 !
( )
% ·!
，所以 !
%
对称， 不是 “形” 的专利， 只
要留心， “数” 中的对称彼彼皆
是如对称多项式、 对称方程、对称函数等等
二项式定理 ( % ) %
图 !
%%
% !
%% !
%… % % !
% % !
%
%
%’
%
， 形式整齐， 对
称而和谐我国南宋
数学家杨辉在 !(!
年所著 《详解九章算
法》 中载有二项展开
式系数的构成表 (类
似于图 !—) ， 这是
数学的对称美的典范
数学的对称美， 不仅仅在于形式， 更是一种解题
的思想方法
例 ! 分解因式
( % % !) (! % ! % ) !
解 我们将 ( % % !) (! % ! % ) ! 看
成 的多项式， 当用 代 时， 有
( )
( % % !) [! % ! ( ) % ( ) ] ( ) !!! !
!
! %
所以， 多项式有因式 ( !) 由于原多项式是 ， !， 的轮换对称式， 根据对称性知， 也一定有因式 (!
) 和 ( ) 而原多项式是 ， !， 的三次齐次多项
式， 则它与 ( !) (! ) ( ) 只差一个常数因
子设
( ! ) (! !) !! % ( !) (! ) ( )
令 ! ! ! ， ! %， 代入上式， 求得 % !
故原式可分解为 ( !) (! ) ( )
例 ! 设 ， 均为正数， 且 ! ( %) ， 求
·’ 的最大值
分析 ， 在条件式里的地位相同， 根据对称
原理， 我们可以预测， 当 ! !
时， ·’ 有最大值
(
解 因为 ， 均为正数， 且 ! ， 则
(’ ! ( )
( ) !
( )
当且仅当 ! 时， (’ 取得最大值
故 的最大值是
(
奇异美
(%) … ! ))!
,)
!
,)
-!
,!
.
…
%
%
! ! !!…{! …{! %%…{%
! 个! ! 个 ! 个%
如果不是经过推理与计算， 以上等式真令人难
以置信以上各式中， 左边是那么复杂的结构， 右边
竟如此简单， 如同魔术师在变戏法只不过变戏法是
假的， 而数学的推理、 变形与运算是不容置疑的这
是数学的奇妙之处
自从有文明史以来， 人们就为追求真、 善、 美进
行着不屈不挠、 前仆后继的努力， 揭示了许多客观事
物的规律和本质但是， 这种认识过程是没有止境
的， 原来的问题已经解决， 新的问题又会提出有些
问题， 还一直悬而未决
古老的圆的周长公式 !， 至少已提出了
’’年’’’年前， 人类采用了作为圆周率的近似
值， !的有效数字仅为 !大约在公元前’’ 年， 巴
比伦人认为!%!
(
%!)公元 )世纪， 我国南北
朝时期的大数学家祖冲之算出了圆周率的前 ( 位数
字， 给出
%!!)+ ,!, %!!)-，是当时最精确的圆周率， 并保持世界纪录’ 多年，他还选用两个简单的分数近似地表示!， 约率是
-
， 密率是%))!!%
’’年过去了， 上个世纪末， 有人将!的精确
值提高到了 ! 亿位数字， 到 !) 年最高纪录是
+， ， )’， %(位!到底是什么？有什么规律？这些问题至今仍
然是个谜! !数学， 无穷的美， 奇妙无比， 它的理论与实践如
此多娇， 引无数数学家竞折腰!我们相信， 数学的一
个个难题， 一定会在热爱数学并致力于数学研究的
接班人面前低头， 一个个新的问题也会向人们发起
新的挑战!
三、 勤奋— — —成功的前提
有人问爱因斯坦成功的经验时， 他写下了一个
著名的公式：
! %
代表成功， 代表勤奋， 代表正确的方法， % 是少
说空话!
爱因斯坦把勤奋放在首位!
我们看到的往往是成功的光环， 是果实， 是花
朵， 但光环后面的艰辛、 失败和如何从失败中站起来
是难于看到的!
神童小高斯速算的故事， 几乎家喻户晓!他一生
为数学史册增添了许多光辉的篇章， 他的另一则故
事却反映了他的专心致志!
高斯在妻子临终前， 正专心地埋头研究一个问
题!有人告诉他， 妻子快要咽气了， 高斯头也不抬， 只
是低声咕哝着： “去给她说， 请她等一会， 我马上就好
了!”
古希腊伟大的数学家、 物理学家阿基米德也有
一则动人的故事： 当罗马进犯叙拉古时， 阿基米德运
用机械技术帮助守城， 保卫自己的祖国， 使罗马军损
失惨重!三年后， 罗马军队攻破了城池， 阿基米德正! 潜心钻研着一道数学题， 他拒绝罗马军的命令不愿
离开画着几何图形的沙盘， 并怒斥罗马士兵 “不要踩
坏了我的图形” 而惨遭罗马士兵的杀害!
潜心钻研数论 ! 余年的我国著名数学家陈景
润， 在文化大革命的动荡年代里， 也不放弃对哥德巴
赫猜想的研究!春节， 他把自己反锁在地板破了一个
大洞的只有几平方米大小的房间里， 埋头于数学研
究， 陪伴他的是两麻袋草稿纸!
我们的先辈， 那些著名的科学家们， 在勤奋学
习、 刻苦钻研方面给我们树立了光辉的榜样， 也留下
了宝贵的经验、 教训和谆谆教导!这里不一一列举，在此， 摘抄我国著名数学家王元先生著 《华罗庚》 一
书中的一些关于华罗庚教授的学习精神和方法!
社会上一般人对华罗庚非常崇拜， 再加上一些
浮夸的宣传， 将他说成是个 “天才” !华罗庚虽然聪明
过人， 但却从不提及自己的天分， 他把 “勤奋” 与 “积
累” 作为成功的钥匙， 反复教育青年人!他在一篇题
为 《聪明在于学习， 天才在于积累》 的文章中， 语重心
长地说： “许多有名的科学家和作家， 都是经过很多
次失败， 走过很多弯路才成功的!大家平时看见一个
作家写出一本好小说， 或者看见一个科学家发表几
篇有分量的论文， 便都仰慕不已， 很想自己能够信手
拈来， 便成妙谛， 一觉醒来， 誉满天下!其实， 成功的
论文和作品只不过是作者们整个创作和研究中的极
小部分， 甚至这些作品在数量上还不及失败作品的
十分之一!大家看到的作品只是他成功的作品， 而失
败的作品是不会公开发表的!” “有的同志也许觉得
我在数学方面有什么天才， 其实从我身上是找不到! 这种天才的痕迹的!我读小学时， 因为成绩不好就没
有拿到毕业证书， 只能拿到一张修业证书， 在初中一
年级时， 我的数学也是经常补考才及格的!” “从初中
二年级以后， 就发生了一个根本转变， 这就是我认识
到既然我的资质差些， 就应该多用点时间来学习， 别
人只学一小时， 我就学两个小时， 这样， 我的数学成
绩就不断得到提高!” “并且在基本技巧烂熟以后， 往
往能够一个钟头就看完一篇人家十天半月也解不透
的文章， 所以前一段时间的加倍努力， 在后一段时间
内却收得到预料不到的效果!是的， 聪明在于学习，天才在于积累!”
我国有着五千年的文明史， 在数学方面有许多
影响世界数学发展的成就!解放后， 尤其是改革开放
以来， 我国数学界的成果更是层出不穷!从 ! 年
开始， 我国青少年开始参加国际数学奥林匹克
(%’) 竞赛， 已荣获上百枚奖牌， 几十枚金牌， 多次
获团体总分第一名， 进入中学生国际数学奥林匹克
五强 (中、 俄、 美、 德、 罗) !充分证明炎黄子孙的勤奋
和智慧!
最近， 北京又传来喜讯， )( 年将在北京举行
国际数学家大会 (%) !这是国际数学家大会经历
了整整一世纪之后， 第一次将要在一个发展中国家
召开， 又是本世纪第一次国际数学家大会， 世界数学
史将翻开新的一页!
美籍华人、 著名的微分几何大师陈省身教授曾
无限深情地说： “我们希望在 (! 世纪看到中国成为
数学大国!”
我们相信， 一个数学大国， 一个经济强大的中国! 将在新世纪屹立在世界的东方!
希望寄托在青少年身上!! 第二章 数学概念— — —数学
的源头
数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关
系的思维形式!数学概念是数学知识的细胞， 是数学
思维的基础!
数学公式、 定理和法则都是反映数学对象和数
学概念之间的关系的!只有树立了正确、 明晰的数学
概念， 才能牢固地掌握基础知识与方法， 因此可以
说， 概念是数学发展长河的源头， 是构建数学大厦的
基石!
但是， 不少同学不重视概念的学习， 认为数学概
念抽象， 学起来枯燥乏味； 在学习概念的方法上， 死
记硬背概念的定义， 不认真理解概念的本质属性； 运
用概念时， 不研究概念的适用范围， 对概念和概念之
间的关系混淆不清!例如， 常见以下各种错误：
(! ) !
(这是对负指数的概念不理解， 乱套
有理数乘法法则 “负负得正” ) ；
(不注意 !的条件限制) ；
%’
(
) (将自变量 ) 与其正弦值为
(
混为一谈) ；
连接两点间的线段叫做两点间的距离 (将图形
“线段” 与数量 “距离” 相提并论) !! 不重视概念的学习是十分有害的!要知道， 由于
不理解概念或对概念含混不清， 会导致解题错误或
无法动手解题!例如：
许多高中同学会在如下问题面前束手无策：
问题 !： 讨论函数
! !
的单调性!
问题 ： 讨论函数
% !
! !
的有界性!
这是因为他们没有真正懂得 “单调性” 与 “有界
性” 这两个概念的意义!
又例如：
求过点 (， !) 且在两轴上的截距相等的直线
与两坐标轴围成的三角形的面积!
有的学生这样解答：
依题意， 当 % !时， 直线 % ! % ， 即 %
% ! 与两坐标轴围成的三角形的面积是 !
， 当 %
% !时， 直线 % ! % ! ( % ) ， 即 % 与
两坐标轴围成的三角形面积是 (
! (如图 —!)
图 % !
以上解答， 混淆了 “截距”
与 “距离” 两个不同的概念!
“截距” 可正可负也可为零!于
是直线 % % ! 不合题
意， 应舍去!
怎样才能学好数学概念
呢？一般地说， 应该重视概念
的引入， 定义的形成， 概念的
运用等环节!在深刻理解、 牢固掌握、 灵活运用上下
功夫!! 一、 深刻理解! 要抓住概念的本质属性
“垂线” 的概念， 其本质属性是： !两条直线；
夹角为 ! ! 是否有一条直线处于水平位置则是非本
质属性初学垂线概念的同学， 在解决 “过点 作直
线 的垂线” 的问题时， 习惯图—中 图， 而不习
惯于 、 (%) 图； 有的同学把一条铅垂线称为垂线，这都是未抓住本质属性的原因
图
“等差数列” 的概念， 其本质属性是： !后一项减
去前一项之差为常数； 从第二项开始而常数 (公
差) 是否为零， 是否为 或者别的形式， 如 !， % 等，却是非本质属性； 数列是有限的还是无限的也是非
本质属性掌握了本质属性， 不难判断形如{ %} ，{ !(’ ) +,’ !} ， {-.’’
} (!为常数，
为自然数， % 是虚数单位) 都是等差数列， 前 项和
为(’ 0
%’ 的数列不是等差数列! ! 要仔细剖析概念的定义
定义是表达概念本质属性的语句， 是对概念的
最简捷的描述!除了原始概念以外， 其他概念都要下
定义!
定义中的关键字、 词， 既不能多， 也不能少!
“并集” 的定义是： 由所有属于集合 或属于集
合 的元素所组成的集合， 叫做 、 的并集!其中，“或” 是个关键词， “或” 的含意包括： 属于 而不
属于； 属于 而不属于； 既属于 ， 又属于
!
要学会用自己的语言 (包括图形的、 文字的、符号的) 准确地描述概念
例如， “交集” 的概念可以从三方面描述：
文字表述为： 由所有属于集合 且属于集合
的元素组成的集合称为集合 与集合 的交集；
符号描述为： ! { % 且} ；
图
图形描述如图 —!
值得特别注意的是， 对
概念的描述要准确， 既不能
遗漏本质属性， 又不能重复
嗦!
如， 用 “三条两两相交的
直线组成的图形” ， “首尾相接的三条线段组成的图
形” 描述 “三角形” 的概念都是不准确的， 都遗漏了本
质特征， 正确的定义是 “不在同一条直线上首尾相接
的三条线段组成的图形” !! 又如， 用 “两组对边平行且相等的四边形” 定义
“平行四边形” 又累赘了!! 要明确概念适用的范围
“互余” 是对两个锐角而言， 不能扩展到任意角；
不相交的两条直线叫做平行线是对同一平面内
的直线而言的；
指数函数 !
， 对数函数 ! 都对底数
有如下要求： % 且 !’；
!， ( %!
%
都有!的限制!
应该利用正、 反两方面的例子帮助理解概念
在学习二次三项式时， 提出如下判断题!
在)
+ +，’
+ (， ( +
，
(
)
+ ,，
( - +
中， 哪些是 的二次三项式？哪些不
是 的二次三项式？
在学习直棱柱时提出如下判断题!
以下说法， 正确的有哪一些？
有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
() 有两个对角面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
有相邻两个面都是矩形的棱柱是直棱柱；
(-) 有相邻两个侧面都是矩形的棱柱是直棱柱!
以上问题， 有助于对 “二次三项式” 和 “直棱柱”
概念的认识的深刻化和精确化!
运用具体化、 特殊化手段理解概念
以{
} 为载体， 理解等比数列； 用{ 菱形} { 矩! 形} !{ 正方形} 作为巩固交集概念的例题； 用树图去
帮助理解和计算排列数， 用纵横交错的高压线去领
会异面直线的含意!这将有助于使抽象概念具体化，使概念变得看得见， 摸得着!
二、 牢固掌握! 掌握概念的 “变式”
所谓概念的变式是指在不改变概念的本质属性
的前提下， 对非本质属性作一些变化!
例如， “异面直线” 的定义是： 不同在任何一个平
面内的两条直线!这一定义等同于：
“既不相交又不平行的两条直线” ；
“不在同一平面内且不相交的两条直线” ；
“过平面外一点与平面内一点的直线， 和平面内
不经过该点的直线” !
后三者都可视为 “异面直线” 的定义的变式， 掌
握了这些变式， 便于操作， 对迅速作出两条直线是否
为异面直线的判断是有帮助的!
还有一些反向变式， 即与概念的本质矛盾的事
例!例如：
“与曲线只有一个公共点的直线是曲线的切
线” ， 对吗？
“判断下列函数是奇函数， 还是偶函数？还是二
者兼是？还是二者均不是？ ”
! ! % ! !
!( ( % ! % ) !! (!) !
! ( %， %]
(%) ! )
() !
+ ( ,-
+ .( . ,-
诸如以上两例辨析题， 有利于驱除头脑中的错
误认识， 净化科学概念! 通过概念的分类， 掌握概念之间的关系
例如：
两条直线
无公共点 异面直线
{平行直线 { } 有惟一公共点： 相交直线
共面直线
复数
实数
有理数
(分数)
正有理数
零
负 { 有理数
无理数 正无理数
{
{
负无理数 {虚数
借助关系图， 掌握概念的联系与区别， 分清
概念之间的关系
(概念之间的关系包括同一关系、 属种关系、 交
叉关系、 对立关系、 矛盾关系等) 例如：
图 % 图 ! !图 !
图 !—中!—四棱柱， —直四棱柱，—平行六面体， —直平行六
面体， %—长方体， —正方体，’—正四棱柱(
三、 灵活运用
概念是判断、 推理、 论证的基础， 只有准确地理
解概念， 才能正确地思维， 同时， 运用概念的过程， 也
是对概念的认识不断地深化的过程， 因此， 要重视对
概念的灵活运用(! 直接运用概念解题
)%
+!,
与
%
+%
是同类项， 求 , 之
值；
若 ) ) (是方程 %) ! ))!
!- 的解， 求方程
(- ) ) (- ) 的解；
求证等腰三角形两腰上的高相等(
以上问题， 首先应该明确 “同类项” “方程的解”
“等腰三角形” “腰” “高” 等一系列概念， 然后才能动
手解题(
例 ! 奇函数 . 在定义域 ( ， ) 内是减函
数， 且 . ( -) . ( -!)+ . () ， 求实数 - 的取值
范围(
分析与解 问题至少包含 “奇函数” 、 “定义域” 、“减函数” 等重要数学概念(! ! ! 的定义域是 ( ， ) ，
% % ， %
%
{
解得 ! % % ( !! ! 是奇函数， ! ( ) (， 且 ! (’
) ) ! ( ) ! ! ( ) ! ( ) % ! ( ， ! ( ) % ! ( ) ) ! (’
) ! ! 在 ( ， ) 是减函数 ( %
% ) ，
， 解得 % %
由!， 可知， % % (
可以看到， 整个解题过程中， 几乎全是运用函数
的奇偶性、 定义域、 减函数的概念进行推理可以说，离开了概念， 就无法推理! 灵活运用概念解题
例 ! 解关于 ， %， 的方程组
%
+) (， % ’
+) (， (% (
(
+) (
{
(，， ( 是互不相等的实数)
分析与解 这是 ， %， 的三元一次方程组， 同
学们当然会解， 但是由于是字母系数， 运算量不会
小如果将 ，， ( 看作一元三次方程)
+
)
%) ) (
的三个根 ， 则利用韦达定理， 即可得到
( ) ，’ ( ( ) %，’( )
{
所以， 原方程组的解为! ! ! ，% ! ， ! ( ) {
注 把解三元一次方程组的问题转化为关于一
元三次方程根与系数的关系问题， 若无对方程的根 ! 的概念的深刻理解， 是难于解得如此轻松的’
例 ! 已知等差数列前 % 项之和为 %%， 前 %%
项和为 %， 求前 %项之和’
分析 数列的前 ( 项和)( ! (
( 是该数列
成等差数列的一个充要条件， 或者说， 是等差数列概
念的一个变式， 于是， 问题等价于：
已知 )( ! (
(， ( ! % 时， )( ! %%， ( ! %%
时， )( ! %， 求 ( ! %时 )( 之值’! 反复运用数学概念
对一个概念的正确理解， 不是一朝一夕就可以
完成的， 更不能仅通过背诵其定义来实现’随着知识
的增长， 理解越来越深入， 应用越来越广泛， 认识也
会越来越完善’
例如初一学习的 “绝对值” 的概念， 是中学代数
中应用十分广泛的概念， 在学习的不同阶段应该有
不同的要求’
我们知道，’ !
( ( %) ，% ( ! %) ， ( ) %) {
对不同年段的同学， 应该完成以下不同的问题：
化简 !’；! (!) !
!
时， % !! ；! ( ! (时， ! % ! ) ! % ；
() 若 % ) ) + ,， 求
的值；
(+) 若 ! ( ,， 且 !
!， 求 !
的值；
(-) 求 % ) % ! ) % 的最小值；
(.) 化简 ! ! + % + ；
() 作 ) 的图象；
(0) 说出函数 !
的图象与 !
， ! %
的图象的联系与区别；
(,) 求函数 ) ) ! % 的单调区间；
若函数
%
%
的图象与函数 %
的图象无交点， 求 % 的范围；
(’) 若 % 123 123
!
% 451
!
， 求 的取值
范围；
() 解不等式： !
% ) ) ! ( +；
(+) 证明不等式：! ) ) ) !’
) ! ) ) !’
( ，其中， ! ( ， ( ， ( ；
(-) 求满足不等式 %
(! ) ) !! (! ) ) !!
的
值也满足不等式!
% (! ) ) ) ! (’! ) ) , 的! 取值的范围；
(.) 已知数列 !( !
( (( % )! ， ( 657!!(
， 且数列
{’(} 的前 ( 项和为(， 求数列{( } 的前 ( 项和)(；
() 函数 !!) ) (! ,， ( ,) ， 当
[,， ] 时， 恒有 +! !求证： ! ! !!， ! ! !!， ! %! !!%
求! ! ! ! ! ! !的最大值及其取得最大值
时函数 % 的解析式! 第三章 符号语言— — —最简
炼的数学语言
一、 什么是数学语言
语言， 是人类交流的工具!数学需要交流， 当然
也有它的语言!
一般来说， 数学语言有三种形式： 文字语言、 符
号语言和图形语言!同学们从学习数学起就开始和
这些语言打交道!
例如， “等腰三角形两腰上的高相等” ， 这是用文
字语言表述一个数学命题!
图 !
用图形语言表示， 可画为
图 !—!
借助图形语言的帮助， 可
将命题用符号语言表述为：
已知： 在! 中，
， % 于 %，
于!
求证： % !
符号语言是用数学符号连接字母和数的表述方
式!! 二、 符号语言的特征
符号语言具有一般语言的特征， 此外， 它的显著
特征是精确性、 简捷性、 通用性 (统一性、 广泛性) !! 精确性
数学中有许多基本符号， 如：
概念符号： 绝对值号 “! !” 、 正弦函数符号
“ !” 、 幂函数符号 “!” ；
运算符号： 加号 “ % ” 、 减号 “ ” 、 乘号 “ ” 或
“· ” 、 除号 “(” ；
比较符号： 大于号 “ ) ” 、 约等于号 “!” 、 不等于
号 “” 等等， 它们都有确切的含义， 不会产生含糊或
歧义， 不存在模棱两可， 似是而非!
但是， 在一些同学的作业中， 随心所欲， 乱造符
号的现象屡见不鲜!如将 “， %” 写成 “
%” ， 将区间 ( ， % ) 写成 [ ， % ] ， 将 · (
) 写成 · ， 将 +,- ( % .) 写成 +,- % .， 表明其
对数学符号的精确性认识不足， 是一种不严谨的学
习态度! 更有甚者， 会出现 +,- ( % ) +,- %
+,-， +,- +,-·+,-， 0
·1
2
， (!%)
!% 之类的错误!
能否准确地运用数学符号是衡量是否具有数学
素养的第一标志， 希望引起同学们的注意!
简捷性
数学是使用符号最多的学科， 因而， 数学以其简! 捷性著称!采用符号避免了累赘的文字叙述， 使数学
的论述简捷而准确!例如：
“一个数的相反数与它的绝对值的差等于该数
与这个数的绝对值的和的二倍!”
这一段文字有点像绕口令!用符号语言表示为：! ! ( % ) ，简捷而明确!
“’” 的含义用文字语言表述为一大串：
在不小于! !
且不大于!
的范围内正弦值等
于 的一个角!
这些例子充分体现了符号语言的简捷性与优越
性!! 广泛性
各民族有各民族的语言， 而数学语言则是人类
共同的语言， 如同音乐中的五线谱一样!有人推测，如果有外星人， 他们也会明白数学语言!于是有人建
议， 在撒哈拉大沙漠， 挖一个巨大的直角三角形及
%
%
的字样， 灌满石油， 点燃后作为与外星人
交流的方式!可以无愧地说， 数学语言是智慧生物的
共同语言!正如 ,-世纪意大利伟大的物理学家伽利
略所赞美的： “自然界最伟大的书是用数学语言写成
的!”
数学符号语言， 不仅是数学判断、 推理、 运算的
主要形式， 也是其他学科经常采用的表述手段!
运动学三大定律， 用数学符号语言表述为
. %， ( . %
,
，
!
. ； 牛顿的万有引! 力公式表述为 ! !
； 爱因斯坦在他创立的狭
义相对论中提出的著名公式— — —质能关系式： % !
， 等等’
三、 如何提高数学符号语言的
运用能力
由于数学符号语言是对数学概念、 性质、 定理、法则的进一步抽象与概括， 因此学习起来有一定的
困难， 比如， 对符号 ( 、 ( () 的含义不容易不理
解’但是， 数学的推理、 计算是通过符号语言完成的，符号语言既是思维的基础， 又是表述的工具和交流
的手段， 要求我们一定要掌握好符号语言’
怎样培养使用符号语言的能力呢？说来也很简
单， 就是贯穿于教学的每一个环节和中学学习的全
过程’! 加强文字语言与符号语言的转换
能将文字语言翻译成符号语言， 如
不大于： “!” ； 不小于： “” ； ， +， 全为零： “
+
! %” ； ， +， 全不为零： “%” ； ， +， 不
全为零： “
+
%”
又如， “设锐角三角形的内角度数都是正整数，且最小角的度数是最大角的度数的四分之一， 求满
足此条件的所有三角形内角的度数’”
如果设该三角形最小的角为 ) 度， 第二大角的
度数为 ,， 则以上问题应翻译成：! 已知：! ! ! ! %，!!!!，! (，!， 为正整数
{
求： !， ， !
能用文字语言解释符号语言的意义， 例如：
% — — —， % 互为负倒数；
! % — — —， % 互为相反数；
( %) )! (% ) )!( ) )
— — —， %， 两
两相等；
( !) ， 其中， ! [ ， ] — — —在定义域
[ ， ] 上， 函数 是偶函数， 其图象关于 轴对
称
(! ! ) 对 !+ 恒成立— — —’ 是周
期函数， 其周期为 ! 恰当地选择数学符号的形式
也就是说， 对于具体问题， 要善于从几种等价的
符号表示形式中选取最合适的例如，当已知四边形四个内角的度数之比为,-.--(，求各内角的大小时， 设四个内角依次为 ,!， .!， !，(! 比较恰当；
当已知三角形三内角成等差数列时， 设三内角
分别为 ! (， !， ! ! ( 比较恰当；
当四边形四内角度数成等差数列时， 设四内角
的度数分别为 ! ,(， ! (， ! ! (， ! ! ,( 比较恰
当；
用 )) ! ， )) ! ,， )) ! . 为自然数) ， 表示三
个奇数连续比用 )， ) ! )， ) ! 为奇数) ， 要好；! 证明五个连续整数的平方和能被 ! 整除时， 设
这五个连续整数分别为 ! ， ! ， !， ! % ， ! %
(! 为整数) 显得最简捷! 在学习概念的过程中， 打下正确使用数学符
号的基础
许多概念都有符号表示如数列{!} ， 通项公式!， 前 项和 ， 弄清概念的符号表示， 是推理、 计
算、 解答数学问题的基础例如，计算 ! ( % !!!
! % (
)
%! ! ! ( %
(,! % ) -! ! % ) 除去运算符号
“%” 、 “” 、 “. ” 以外， 涉及数学概念的符号有绝对
值、 二次算术根、 三次方根、 零指数、 负指数、 角的余
弦等符号
又如， 设 ! ， ， 01,23
!
% ! %
01,23
% 4 01503’， 求证： 4! %
!
如果不能理解 ! ， 及反正弦、 反余
弦、 反正切等符号的意义， 将会在问题面前一愁莫
展
在学习定理、 公式、 法则的过程中， 逐步树立
使用符号语言的意识
数学定理、 法则通常用文字语言叙述， 而定理的
证明与法则的运用， 又经常是通过符号语言完成的
因此， 做好用文字语言表述的定理和法则向符号语
言的翻译是必不可少的如：! !“同号两数相乘， 积为正数” 翻译成： 若 ! ! ， ! 或 ! ， ， 则 ! ! ；
“长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点
上三条棱长的平方和” 翻译为：
% !
%
“正弦定理： 在一个三角形中， 各边和它所对角
的正弦的比相等， 并且都等于外接圆的直径” 翻译
成：!
%
’ %
( % )%! 通过解题， 提高运用符号语言的能力
解题的过程， 是运用符号语言表达解题思路的
过程， 解题活动是建立在各种语言转换的基础上的，提高运用符号的能力， 是提高解题能力的必需%
例 已知 ! % ， 求证：!! !
!
% %
证明 !! !
!
%!! !
!! ! !
!!
! !
%!! !
!
! !
! !
%! ! ! !
% %
注 本问题的解决， 全是符号的变换%
例 已知焦点在 轴上的椭圆 ( 的中心为
+ (
,
， ) ， 其长轴长为 +， 短轴长为 ， 如果 ( 上
有四个不同的点到点 ( ,
， ) 的距离都各自等于它
们到直线 ： % ,,
(, ! ) 的距离， 求 , 的取值范
围%! 分析与解 对这类范围题， 许多学生常常望而
生畏!原因之一是题目表述冗长， 二是有参数， 三是
需要根据椭圆具备的特性去探求参数取值的范围!
让我们对条件进行剖析!
首先， 由 “焦点在 轴上， 中心为 (!
!
， ) ，长轴长为 ， 短轴长为 !” 可写出椭圆 % 的方程为：
[ % (!
!) ] !
!
， 并可推知， 点 ( !
， ) 是椭
圆的左顶点!
其次， 到点 ( !
， ) 与直线 (： %
!
( ( )
有等距离的点的轨迹是以 为焦点， 以 ( 为准线的
抛物线)， 其方程为 !
! !
第三， “% 上有四个不同的点到点’ ( !
， ) 的距
离都各自等于它们到直线 (： %
!
的距离” 说明：
有四个不同的点， 同时在椭圆 % 和抛物线) 上!
于是原问题可转化为较为简明的问题：
“当椭圆 %：
[ % (!
!) ] !
!
与抛物线)： !
! 有四个不同的交点时， 求 的范围!”
观察方程的特点可知， 曲线 % 与) 都关于 轴
对称， 则它们的四个不同的交点具有两个不同的横
坐标值， 于是
由
[ % (!
!) ] !
!
，!
!
{
消去， 整理得! !!
( %) !
!
%
! (! ()(!)
于是， 问题转化为 有两个不等的正根 ) 继续往
下走就容易了
% (，!
%
! (，! ( %) !
% ( !
%
!) (
?
?
解得： + +
%
! 通过阅读， 掌握利用符号语言的表述能力
数学阅读是在文字阅读的基础上， 通过对数学
语言 (图形、 符号、 文字) 的感知与认识， 对新概念的
同化与顺应， 对阅读材料的理解与记忆等各种心理
活动的过程， 是一个不断地判断、 推理、 想像、 计算、猜想和归纳的认知过程， 在阅读数学书籍过程中， 读
者必须首先对有关的数学术语和数学符号有清楚的
认识和理解因此， 阅读对提高数学语言特别是符号
语言的运用能力是十分有益的
() 由于数学语言的抽象性， 使数学阅读比文学
阅读更困难， 因此， 开始阅读的方式不宜采用浏览或
快速阅读， 而应该是一个集理解、 记忆、 推理、 计算为
一体的读、 想、 写结合的过程， 必须对每一个概念、 数
学符号与术语的精确含义要仔细琢磨， 对定理、 公式
的来龙去脉要认真掌握， 对定理、 法则的运用要深入
领会
由于数学教材的约简和数学符号语言的简
捷性， 在阅读时， 常常会遇到一些沟沟坎坎， 由上一! 步到下一步的跨步很大!这时， 读者必须动手演算和
推理， 平坎填沟， 变天堑为通途!这便给读者提出了
使用数学符号语言的要求!
由于数学的严谨性， 数学教材和一些良好的
辅助读物必是语言规范、 言必有据， 读者在阅读中必
然受到阅读材料的感染!只要读者在阅读时留心、 多
思， 一定会克服诸如 ；
% ； 若 % ， 则
% ( 等语病!
由于数学语言的多样性 (文字、 符号、 图形) ，数学书籍的语意转换频繁， 要求阅读者适应这些语
言的转换!而数学的推理与判断多半是以符号语言
实现的， 所以， 对符号语言的掌握与运用要求更高，定将促使我们掌握和运用数学语言的能力!! 第四章 公 式、 定 理、 法 则
— — —解决数学问题
的工具
定理、 公式、 法则是建造数学大厦的钢筋铁骨，它们揭示了数学概念之间， 数量关系与空间形式的
规律， 是解数学题的工具!
中学阶段学习的数学公式、 定理、 法则不下千
条， 要用好这些公式和定理， 并不是一件简单的事
情， 如同一个巨大的工具箱中， 有形式不同， 用途各
异的工具， 只有掌握了各种工具的结构、 性能、 用途
和用法， 并经过反复实际操作， 才能运用自如， 得心
应手!
怎样才能学好、 用好公式、 定理和法则呢？
一、 贵在理解! 分清条件和结论
一般来说， 定理的结构分为 “题设” 和 “结论” 两
部分， 在理解定理时， 应该注意： 不能把题设和结
论混淆； 不能遗漏或偷换题设中的本质条件!
例 ! 定理 “凡直角都相等” 的题设是： 有两! 个角； 这两个角都是直角!结论是这两个角相等!
不可更换结论和条件而表述成 “若两个角彼此相等，那么它们都是直角!”
例! 定理 “两边对应相等的两个三角形中， 夹
角大则第三边大” ! (图 —)
定理的题设条件是：
图
图 !
两个三角形! 与!%%%；
% %%；
% %%；
%%% !
定理的结论是 %% !
条件中的四项， 缺一不可， 否则， 得不出
%%的结论!
例 三垂线定理： 在平面内的一条直线， 如果
和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这
条斜线垂直 (图 —!) !
三垂线定理题设的条件
是：
有三条直线 、 %、，一个平面!；
%是 在!内的射影；
!；! (!) !!
结论是： !!
如果遗漏了四个条件之一或者忽视了本质条件
而套用定理， 就会发生错误
如忽视条件 !!， 则 ! 可以在平面!外， 除
去 !!的情形， 其他是不能得到结论 !! 的， 这
是初学者易犯的错误之一! 注意应用范围
许多公式、 定理和法则是在一定条件下才能成
立的如 “等弦对等弧， 大弦对大弧” 是在同圆或等圆
中才能成立； “等角对等边， 大角对大边” 是对同一个
三角形而言； 等比数列前 % 项和的公式 % ! ( %%)
%
的前提是’； 两直线的夹角公式( !
( %
(
有 ( % 的限制
不注意范围， 盲目套用公式或法则， 会引起许多
失误例如：
由 !) 得到)
!；
由 !) + 得到) +
!；
解方程 ,- )
) .) % ,- ) 得
,-))
) .)
,- ， 得))
) .)
，解得 ) % )或 ) ；
认为 “两条边分别相等的两个直角三角形全
等”
以上错误都是由于忽视使用范围或者限制条件! 所致， 分别应作如下改正： !!； ! ； (%) 应
考虑
!! 且 ! ； ( 改 “分别” 为 “对
应” 相等
值得特别注意的是， 由于研究范围的扩充， 原来
的定理、 法则和公式不一定仍然成立
例如， 平面几何中的定理： “同垂直于一条直线
的两条直线平行” ； “若两角的两边互相垂直， 则这两
个角相等或互补” 在立体几何中就不正确而在实数
范围内的正确命题， 如 “若) ) !， 则 + !” ； “若!
， 则 ! ” ； “若) )!， 则 , !!” 等等， 则不能照搬到复数范围内! 剖析关键字词
数学的定理、 公式与法则都是由数学中的专门
术语和符号组成， 在学习和使用定理、 公式和法则
时， 一定要认真推敲， 规范使用， 对关键性的字、 词，要仔细剖析， 常常要咬文嚼字， 不可含糊其辞， 更不
能粗制滥造
要正确理解数学术语和数学符号的意义例
如，“点 % 在直线 上 ” 是 “直线 通过点%” 之意， 不
能理解为 “点 % 在直线 上方 ”
“两条相交直线确定 一个平面” 中的 “确定” 一词
的含义是 “有且只有” ， 即具有 “存在性” 与 “惟一性”
[!， ] 等价于 !， 不能用 在 !， 之 间 代替， (!， ) 即 ! - - ， 叫不叫 在 !， 之
间呢？ “在…之间” 的说法含糊不清
要仔细阅读! 有下列判断题：!等腰三角形角的平分线就是它的对称轴；
有一个锐角和一条直角边相等的两个三角形
全等；
根据勾股定理可以判定边长分别为 !， ，
的三角形是直角三角形；
三点可以确定一个圆!
有的学生认为以上四句话都是对的!其实， 恰恰
相反， 以上四个判断都是错的， 犯错误的同学肯定在
学习中有粗枝大叶的毛病， 忽视了一些关键的字!如!要改为： 等腰三角形顶角 !的平分线所在的直线 !!!!!， 就
是它的对称轴 !； 中的对应 !!相等； 中的勾股定理的
逆定理 !!!； 中的不在一条直线上的 !!!!!!!!三点!
要准确地回答问题
只有准确地回答问题， 才能正确地表达思维!有
的同学回答问题时用词不准确， 词不达意， 造成错
误!
问： “若 % ， 则 % 且 % ” 是真命题吗？
正确答案应该是 “不是” ， 可有的同学回答 “不一定” !
他们不懂得， 命题只有真、 假之分， 没有 “既真又假”
的命题!
问： “若 % ， 可能有 % ， % 吗？ ” 可能有
同学会答： “不可能” ， 与正确答案 “可能” 仅仅一字之
差!
问： “设 为复数!则’
(
对吗？为什么？ ”
有以下两种回答： 一是不对， 因为’
是实数， 而
是复数； 二是不一定对， 因为 是实数时，
(
，
是虚数时，
!其实， 这两种回答都错了， 先分! 析第一种回答的错误!虽然， ! !
是实数，
是复数
的说法不错， 但由此否定 ! !
， 理由是不充分
的!因为
是复数， 也包括实数在内， ! !
仍然
可以成立!第二种回答虽然指出了使! !
成立
的条件， 但作为对一个命题是否正确的判断， 只能用
“是” 和 “否” 而不能用 “不一定” (既是又否) !正确的
回答是： 不对!例如! !
!
!
要规范地表述， 否则， 会造成含糊不清或逻
辑混乱!
我们常常会碰到如下一些语病： 直线过平面； 连
接点 到 %； 作点 % 到直线 的距离； 缩小 % 倍； 提
出一个负号； 开根号；
(
在坐标平面上表示
一个圆； 两底角相等的三角形是等腰三角形； 若斜边
上的中线等于斜边的一半， 那么这个三角形是直角
三角形等等 (请读者找出语病并纠正) !如果在一篇
漂亮的论证中出现如上的一些说法， 就如同在品尝
香喷喷的油炸花生米时吃到了几颗变质的!! 分清结构特征
许多同学怕数学， 原因之一是数学公式难记!
数学公式多， 难记， 这是事实， 但记忆数学公式
不能靠死记硬背!通过应用， 自然记忆是主要途径，分清公式的结构特征， 是加强记忆的重要方法!
例如， 诱导公式， 即表示以下各种角度与角!
的三角函数间的关系!
第一组： (!、 (!、 !、 (!、 !；
第二组：
(!、
!、%
(!、%
!!
诱导公式共有) + , (个) ， 机械背诵， 实属困! 难!观察其结构特点， 可概括为： ! ! (!) 、、 !%、 !!的三角函数值， 等于的同名函
数， 前面加上一个把看成锐角时原函数的符号；!!
%， !!
%的三角函数值， 等于的余函数， 前
面加上一个把看作锐角时原函数值的符号!
进一步观察与归纳， 角度 ·!!
(!) 的三
角函数值， 当 为奇数时， 等于的余函数， 当 为
偶数时， 等于的同名函数， 再加上一个把看成
锐角时原函数的符号!
以上规律可概括为： 奇余偶同、 象限定号!
(个公式， 浓缩成八个字， 容易记忆， 方便运
用!
比较而言， 三角中 “和、 差、 倍、 半、 和差化积、 积
化和差” 公式更难记忆， 容易混淆!观察公式的结构
特征， 抓住公式间的联系与区别显得更为重要!例如) , )
!
其特征有：
(-) 右边两项函数名称均为 ) ；
两项中间以 “” 联结；
系数与指数的数值依次为 ， -， (， !
.) , (.)
.)
其特征有：
(-) 右边两项函数名称均为 .) ；
两项中间以 “” 联结；
系数与指数的数值依次为 (， ， ， -!
在两个公式的特征里， (-) 、 两条不易出错， 常爱
混淆的是第 条!如果多念上几次 “， -， (， ； (， ，! !!， ” ， 就容易铭记于心了!
二、 牢固掌握! 掌握公式、 定理、 法则的推导与证明
不能仅仅满足于记住定理、 公式与法则， 而且应
该掌握它们的来龙去脉!
要了解引入定理、 公式、 法则的背景!!发现式引入!如由三角形内角和为 ， 可以
发现四边形， 五边形， …， 边形内角和公式； 通过具
体问题的计算结果发现交换律 % % % % ， %
%， 结合律 ( % %) % % (% % ) ， (%) (%) ，分配律 ( % %) % %， 有助于培养观察、 发现、归纳、 猜想等能力!
联想式引入!如在直角三角形中， 三边长满足
勾股定理， 那么， 锐角三角形和钝角三角形三边长又
应该满足什么样的关系呢？由分数的约分与通分，联想分式的约分与通分； 由分数的加、 减、 乘、 除四则
运算联想分式的加、 减、 乘、 除四则运算!通过联想引
入新的定理、 公式与法则有助于旧知识的拓展与发
展， 有助于培养由旧知识向新知识迁移的能力!
探索式引入!如以 ， % 代入 ( % %)
和
% %’
发现， ( % %)!’
% %’
， 从而激发自己探
索 ( % %)
的展开式是什么!以! ! ， ( 代入) (!%) 和 ) !% ) 可以看到 ) (!%) !) !
% ) ， 自己提出如何用!， 的三角函数表示 ) (!
%) 的问题!从而培养自己善于提出问题， 探索新! 规律的能力!
要掌握定理、 公式的证明及推导方法!
定理、 公式、 法则是历代数学家智慧的结晶， 是
先辈留下的宝贵知识遗产!我们要继承的不仅仅是
它的结论， 更重要的是研究的方法!!借鉴方法!课本上定理的证明， 公式的推导方
法， 都十分简明， 许多思想和方法具有普遍意义!
因式分解和推导一元二次方程求根公式采用配
方法； 推证直线和平面平行的判定定理采用反证法；
证明余弦定理， 两角和的余弦公式引入坐标法； 证明
勾股定理、 正弦定理是应用面积法； 推导等比数列前
项和公式采用的是 “错位相减法” ， 推证三棱锥体
积公式巧用 “割补法” 等等!这些方法都是数学解题
中常用的， 同学们应该从中学习数学思维方法， 提高
思维能力!
克服遗忘!人的记忆力是有限的， 遗忘是正常
现象!如何克服遗忘呢？有些同学依赖书本， 离了书
本就束手无策， 这不是好办法!就算有现成书本可以
翻阅， 但是当你独立承担一项工作， 而又无成法可
依， 又怎么办呢？所以， 单纯依赖书本并非上策!掌
握定理、 公式、 法则的推导与证明过程， 是克服遗忘
的好方法!例如：
忘记了 % ! % !’ (%!右边的结构， 可变
为两角和的正弦 % ! (! !)!) 推出；
万能公式 !!!!
, ) ! !!
， -. !
, ! !!
, ) ! !!
，! ! !
%!!
%
!% !
%
容易记错和混淆， 当你记错或混淆
之时， 采用如下的推导是不费力的!
! %!
%
(!
%
%!!
%
·(
% !
%
%!!
%
(,% !
%
%!!
%
- !% !
%；
( ! %(
% !
%
%
(,% !
%
%
- !% !
%
!% !
%
- !% !
%；! !
!
( !
%!!
%
!% !
%!! 掌握公式的变形
同学们习惯于正用公式， 也就是按公式书写的
形式从左到右应用， 而逆用， 尤其是变形用公式就不
习惯了， 这是对公式掌握得不好的表现， 是不利于解
题能力的提高的!
仍以公式 . ! . !’ .!为例!
正用是化三倍角正弦为单角的正弦； 逆用则将
复杂的多项式变为形式简单的单项式 (化差为积) ；
还可以变形为 .!
. !’ . !
， 则可用作降次! (化积为差) !! 形成完整的知识结构
平常的课堂学习， 是一节一节、 一个问题一个问
题的学习， 不免有些支离破碎， 如果经过一段时间的
学习 (如一单元、 一章、 半学期、 一学期) 以后进行系
统的复习， 不仅有利于克服遗忘， 而且， 对弄清定理、公式与法则的来龙去脉， 地位作用， 掌握知识的纵横
联系， 形成知识网络， 促进思维能力的提高是大有好
处的!
在复习时， 要注意采用以下几种方法!
列表图示法!
现行中学数学教科书比较注意用这种方法， 在
每一章后面的小结中， 常常采用列表和图示法， 以帮
助读者掌握知识结构!如：
二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式三者
相互关系表；
正弦、 余弦、 正切、 余切函数的主要性质归纳表；
和、 差、 倍、 半、 和差化积、 积化和差公式内在联
系及推导线索表!
对比法!
对相近或对立的知识进行对比， 容易把握特征，找出差异!
把指数运算法则和对数运算法则对比；
把指数函数与对数函数的性质对比；
把正弦、 余弦、 正切、 余切函数的主要性质对比；
把反正弦、 反余弦、 反正切、 反余切函数的图象
与性质对比；! 把椭圆、 双曲线、 抛物线的概念与性质对比!
类比法!
“类比” 是根据两个或两类对象有部分属性相
同， 从而推出其他属性也相同的推理!
类比是认识新事物的一种思维方法， 是提高思
维效率、 形成创造性思维能力的一种必要手段!
在学习分式时， 当我们看到分式与分数有某些
共同之处， 如分母为零时， 无意义； 分子为零且分母
不为零时， 其值为零； 分子、 分母同时乘以 (或除以)
非零的数 (整式) 时， 其值不变， 就可以通过类比， 想
到分式具有与分数类似的变形和运算法则：
可以 “约分” ：
；
可以 “通分” ：
，%
变为
， %
；
乘法法则：
·%
%
；
除法法则：
%
·
%
%；
加减法法则：
%
%
；
%
%
%
!
通过类比， 使分式的学习变得快捷得多!
类似的例子还有：
因数分解与因式分解的类比；
圆柱、 圆锥、 圆台与棱柱、 棱锥、 棱台的性质、 面
积与体积计算公式的类比；
等比数列与等差数列的类比，让我们看一个具体例子!
三角形的面积公式 “’
%
底边长 高” 与三! 棱锥的体积公式 “! !
底面积 高” 的形式类
似， 不仅如此， 推证方法也很类似 (图 %—)
!% !
·(’ !!) % !
!% ·(
图 %
将三角形通过补形为平行四边形， 利用已知的
平行四边形面积(’， 而
!% ! !)， !% !
(’；
类似地想到， 三棱锥通过补形成等底等高的三
棱柱利用已知的三棱柱的体积公式 !%·(， 而!) % ! ! %) ! !+ )得!) % !
!% ·(
应该注意的是， 用类比推理得到的结果， 不一定
全部正确， 应去伪存真， 求同存异
平面几何与立体几何可以类比， 平面几何的有
些定理， 在立体几何中仍然成立， 如：
同平行于一条直线的两条直线彼此平行；
两个角的两边分别平行， 则这两个角相等或互
补
但有些定理则不能照搬， 如：
同垂直于一条直线的两条直线彼此平行；
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线! 还有， 如果将立体几何中的某些 “平面” 类比平
面几何的 “直线” ， 则问题变得比较复杂， 如下表：
已
知
元
素
位 置 关 系
已知条件
两条不重
合的直线
一个平面
与平面外
的一条直
线
两个不重
合的平面
平行于同一条直线 平行 平行 位置
不确定
平行于同一个平面 位置
不确定 平行 平行
垂直于同一条直线 位置
不确定 平行 平行
垂直于同一个平面 平行 平行 位置
不确定
特殊化与一般化!
随着年龄的增长， 年级的升高， 我们掌握的知识
就越来越多!如果在不断学习的过程中， 你经常有这
样一种体会： “原来我以前所学的知识只是现在所学
知识的一种特殊情况” ， 似乎有 “一览众山小” 的感
受， 那么， 你明白了， 你掌握了， 你学通了!如：
勾股定理是余弦定理的特殊情形；
诱导公式是和角公式的特例；
正比例函数， 反比例函数， 二次函数
分别
是幂函数 ! 中!取 ， % ， 的情形；
数列可看作自变量取正整数集 (或其子集) 的函
数；
等差数列、 等比数列、 常数列都隶属于一阶线性
递推数列 % % % ! 时是等差数列， ，! !!!时是等比数列， ! !时是常数列
你应学会给自己提出如下一些推广性的， 一般
化的问题研究与思考：
学了三角形内角和为 ! ， 提出： “四边形， 五边
形， …， 边形的内角和为多少度？ ”
学了圆周角的大小等于它所对弧度数之半， 提
出： “如果角的顶点在圆内 (圆内角) ， 顶点在圆外 (圆
外角) 的大小能否通过有关弧的度数量度？ ”
学了公式 (% % )
%
% %
， 提出： “ (% %
) (
， (% % ) )…应等于多少？ ”
学习了虚数的性质： 如果 ， 那么
)
，)
+ ，) (
+，)
以后， 提出： “若 ,， 以上性质仍能成立吗？ ”
三、 重在运用
理解和掌握了定理、 公式与法则， 如同有了好的
弓箭， 只有通过训练和实践， 才能提高技艺! 提高辨别等效性的能力
全等三角形的判别方法中， “(” 与 “(” 等
效， 而 “))(” 与 “)” 不等效；
等式 %(
(
(% ) (
+ (% (% ) 与公式 (%
) (
%(
(%
(%
(
等效；
判定奇函数的方法： 对定义域内的任意自变量
， 都有 “+ () + + (+ ) ” 与 “+ ()’ + ( + ) !” 或
“ + ()
+ (+ ) + (!!) 且 + !” 或 “+ () 的图象关
于原点对称” 等效! 掌握公式、 定理、 法则的等效形式， 是从深层次
上理解的结果!给定理、 公式、 法则的运用带来方便，有助于提高解题能力!! 提高灵活运用能力
应用公式与法则解题的时候， 不少同学习惯于
按照公式与法则推出的顺序运用!如学习了公式 (! )
!
以后， 要求会用公式展开 ( !
%
)
， 不会有多大的困难， 但对将 !
%
%
%’
写
成 ( !
%
)
则迷惑不解， 表明逆用公式的能力差!
为了提高解题能力， 我们不仅要学会正向运用公式，还要会逆用公式， 变形用公式!
例如， 公式 ( ( )
(
的一些变
形： ( )
( ! )
， ( ! )
( ) !
， ( ) ! ( ! )
， 这些变形形式在代数
式的求值、 化简和等式的证明中会常常用到!略举两
例：
(%) 在解析几何弦长公式的变形中： ) %% ! % )) , !) (%% %) ! %% % ! ) , !)；
在高二代数不等式的学习中， 课本上一道很
重要的例题的证明：
已知 %， - ， % ， % (， 求证：!如果 ( 是定值， 那么当且仅当 % 时， 的
值最小；
如果 是定值， 那么当且仅当 % 时， ( 最
大!
观察 (% ) ! (% ! )
%， 以上命题的正确! 性则一目了然!! 反复运用， 不断巩固
人们认识事物， 总是遵循实践、 认识、 再实践、 再
认识的过程， 这种过程， 不是简单的重复， 而是呈螺
旋式上升， 逐渐提高到新的层次!
数学学习也是一样， 对公式、 定理、 法则的理解
和掌握， 不可能一次完成， 而应该在后续学习中充实
与提高!
例如， 勾股定理是平面几何最基本和最重要的
定理之一， 在初中二年级学习以后， 除在平面几何中
反复运用以外， 在高中数学中会多次用到!如证明函
数与反函数的图象的对称性， 建立三角函数的定义，余弦定理的推导， 有关多面体与旋转体的表面积与
体积的计算， 平面上两点间距离公式的推证， 弦长公
式、 极坐标与直角坐标的互化， 复数的向量表示等等
都多次反复地运用勾股定理!! 第五章 数学方法— — —数学
解题的杠杆
解数学题离不了方法!
在中学数学中， 涉及的数学方法很多， 数以百
计， 大体上可分为三类!第一类是思想方法， 如模型
法、 分类讨论法、 等价转换法、 映射法等等； 第二类是
逻辑方法， 如分析法、 综合法、 归纳法、 演绎法、 类比
法、 反证法等等； 第三类是数学方法， 如代入法、 求差
法、 换元法、 配方法、 裂项求和法、 因式分解法等等!
前两类方法不是数学特有的， 但第三类方法则是数
学的专利!
在第三类方法中， 有些是局部的方法， 即适用的
范围比较狭窄， 如作图中的三角形奠基法、 交轨法、位似法； 数列求和中的裂项求和法、 错位相减法、 求
轨迹方程中的直接法、 相关点法、 参数法等等， 有些
是全局性的方法， 应用范围广泛， 涉及的知识点多!
数学方法， 是中学数学教学大纲对数学教学的
基本要求之一， 是解数学题的有力杠杆， 在数学教科
书上， 很少提及用什么方法解题， 这是因为教科书是
以基础知识为主线编写， 同时也避免了束缚学生的
思想!
数学方法寓于定理的证明、 公式、 法则的推导及
例题的解答过程之中， 没有脱离数学基础知识的数! !学方法!因此， 同学们应重视从基础知识的学习中领
会和提炼， 在习题的解答中总结和归纳!许多辅助阅
读材料是以方法为主线编写， 有利于同学们吃透数
学方法的精神实质， 掌握操作程序!
以下分节对四种用途非常广泛的数学方法进行
介绍!
第一节 配方法
一、 什么是配方法
让我们先看一道数学题!
当 ， 为何值时， 方程 !
! ( ) (!
% %!
!) 有实根？
这是 年全国初中数学竞赛的一道试题!
许多参赛选手这样入手： 由! (! !) !
+ % (!
% %!
!) !’，即 + )!
+ ,!
+ , ) + %!’!
往下， 许多人束手无策!但有些学生对 采取
了如下变形：!!
%!
% + ! ，即 ( !) !
( + ) !
!
当且仅当 + ， ! 同时成
立， 即 且 +
!
时原方程有实数根!
还有的学生一开始就对原方程作如下变形：
[!
! ( ) ( ) !
](!
% %!)
[!!
! + ( ) !
] ，即 ( ) !
( !) !
( + ) !
!! 因此，! ! ，! % ， % % !
{ !! ， !
， !
{
故当 ! ， !
时， 原方程有实根 !
以上解题的成功， 归功于 “配方”
什么是 “配方” ？那就是将代数式或它的一部分
写成!
! %
(! )
的形式
通过配方， 利用其特殊性解决问题的方法是配
方法
配方的主要方式有：
配常数项： !
! (! ) !
配一次项： !
%
(! )
!
二、 应用举例
配方法的应用十分广泛， 几乎涉及到中学数学
各章内容
例! 已知 ! % ， % ， %
% ， 求 !
%
% %
! ! ! % ! !% 之值
解 由条件易知： ! ! ! ， ! % ! ， % ! !
所以!
%
% %
! ! ! % ! !%
[ (! ! )
% ( ! %)
% (% ! !)
]
[ (! )
% (! )
%
] (! 例 ! 已知 !!
， 求证： 方程
(! % ) !
! ( % ) ( % !)
的两根相等%
证明 因为 !!
， 所以 ! ! ! %
在 中，! [! ( % ) ] !
% (! % ) · ( % !)
!!
!
% !!!
!!!
%!! !!
!
!
%
!!
!!
!
!!!
!
!
!!!
%!! %!!
(! ! % !) !
(! % !) !
%
故原方程有两个相等的实根%
例 求多项式 !!
% (! )!!
% %!
!的最小值%
解 因为 ( %!) !
( % !
(! % !) !
+,!，所以， 当且仅当 (， ! !时，-. +,!%
例 求满足不等式
!
!!
!
,! ,! !
的整数 ， !， %
解 将原不等式经过配方， 变形为
( %
!!) !
,’
(! % !) !
( % ) !
因为 ， !， 0，所以 当且仅当 %
!! ! % ! % 时成
立 1! 故 ! ! ， ! ， !
例! 求方程 %
%% % % ! 表示圆
的条件 (
解 将原方程配方， 变形为
(% %)
( % ) !
因为
! (’
)
)
，故原方程表示圆的条件是!+
例 已知 , % , !， -.% -. !)
-. (% ) ， 试求 %， 的值
解 0 -.% -. !)
-. (% ) ，1 -.
%
-.
% %
!)
-.
%
% ，1 -.
%
-.
% %
! -.
%
，-.
%
% -.
%
-.
% %
-.
% %
23 % %
!，1 (-.
%
%
-.
% %
)
23 % %
!
1
-.
%
%
-.
% %
!，23 % %
!，’ , % , !
{
故 % ! ! !)
或 % ! !
4!)
! 第二节 换元法
一、 什么是换元法
同学们一定知道曹冲称象的故事!
三国时期， 有人给曹操送了一头大象!曹操很高
兴， 带着儿子曹冲和官员们去看大象!
大象又高又大， 身子像一堵墙， 腿像四根柱子!
大家一边看一边议论： “这么大的象， 到底有多重
呢？ ”
曹操问大家： “谁有办法把这头大象称一称？ ” 官
员们有的说： “得造一杆大秤， 砍一棵大树做秤杆!”
有的说不成， 谁有那么大的力气提得起这杆大秤呢？
也有的说： “办法倒有一个， 就是把大象宰了， 割成一
块一块的再称!” 曹操听了直摇头!
七岁的曹冲站了出来， 说： “我有个办法!把大象
赶到一艘大船上， 看船下沉多少， 就沿着水面， 在船
弦上画一条线， 再把大象赶上岸， 往船上装石头， 装
到船下沉到画线的地方为止!然后， 称一称船上的石
头!石头有多重， 大象就有多重!”
曹操笑了， 周围的人也拍手叫绝!
小曹冲用容易称出的石头的重量代换大象的重
量， 这就是朴素的 “换元” 的思想方法!
例 ! 已知一个六位数!%， 若将此数乘以 ，得到的新数恰好为%!， 求此数!
解 设 %， 则根据题意， 有
(!%
) !’ !，! 解得 ! ! %
故 此数为%
例 ! 求 ( ( ( ! ! ! ……的值
解 设! ! ( ( ! ! ……， 则! ! ( ! !，解得 ! !
注 例是通过设未知数 ! ! %’， 化繁为简，例 是设 ! ! ( ( ( ! ! ! ……， 化无限为有
限， 使问题的解答轻而易举
以上两例都采用了 “换元”
换元法是这样一种方法， 把关于某些数或字母
或者它们的解析式， 用另外的字母或解析式表示， 使
问题获得解决的方法
和配方法一样， 换元的应用也十分广泛， 功能更
强大， 它有着化繁为简， 化难为易， 溶解难点， 缩简思
维等优点
二、 应用举例
例 解方程 )! ! ( )! ! + !
解 设 ( ! )! ! ( ， ) ! )! ! +， 则
))! )，( ) !
{ ，由此方程组解得
(’ ! )，)’
{ !
或 ( ! ，) ! )
{
即! !! ! % !，!! ! { % (
或!! ! % (，!! ! % !
{
解得 !) % ， ! % !+
注 通过换元， 化根式方程为整式方程组， 避免
了通常解无理方程两次 “两边立方” 而产生高次方程
的麻烦
例 ! 分解因式
( %) ( % ) (% ) % (%
) (% ) (% ) ( % ) ( %
) (% )
解 设 ! % %， % % ， % %
， 则! ( ( ) % ( ( ， ( ) %，’ ( ! ) ，! ( ) ,所以， 原式% !’ )
( ) )
(’ !)! )
(! ) !
%)
[ (! ) (! )! (! )!]
%)
[ (! ) (! ) !’ (! ) !
!’
]
%)
(! ) (’ !’ !
)
%)
(! ) ( ) (! )
% (%
注 上述换元可 “以一当多” ， 便于观察， 简化运! 算， 减少出错的可能性， 使解题工作量大大减少!
例 ! 解方程
!
! ! % !
解 移项， 把原方程变为
( ) ( ! ) ! ! !’ %，即 ( ! !)
( ! !) !’ %!
令 % ! !， 则
!’ %(
解得 ) % 或 % (舍去) !
于是 ! ! % ， 解得 % +!
注 换元法使结构变得简洁， 但配方法功不可
没!
例! 求 % ! + ) ! ! 的最大值与最
小值!
解 易知 的取值范围是 +!
设 % + ,-.! (’!
) ， 则
% ,-.! ! !0,! !
% ,-. ! ! !0, !% ,-. (! !) !
当!%
时， 123 % ；
当!%
时， 1-. % )!
注 本例采用了三角代换， 把令人困惑的根式
函数的最值问题转化为思路通畅的三角函数的最值
问题!
掌握如下一些经常用到的三角代换形式是有好
处的!例如：! 若 !!
!
， 则设 ! %’ !， !；
若 !!
!
!
(以下 ， 均为实数) ， 则设 !
%’ !， !；
若 !!
!!!
， 则设 ! %’ !， !， 其中，! ；
若 !!!!
!!!
， 则设 ! %’ !， !，其中 !! ；
若 !!
+ !
， 则设 ! ,% !， -.) !；
若 !!
+ !
!
%则设 !,% !， -.) !， 其中， ；
若 !!
!
!
! ， 则设 ! %’ !， !；
若 !!
! +
!
! ， 则设 ! ,% !， -.) !%
例! 已知正数 ， ， ，， ( 满足以下关系：
， ， ， ( %
试证： ， ， ，， ( 成等比数列%
证明 令
)，则 )， ) )!
， 以此代入 ， 得)!
) %
0 1 2，3 )!
+ ) + 2， 于是 )
) +
%
又由 ， 有 ) ， 于是
) +
)，又由 (， 有 )’ (， 于是
+
%
3
(
)
%
故 ， ， ，， ( 成等比数列%
注 此例的解法中， 辅助变量 ) 成为联系 ， ，! !， ， 的纽带
一般地， 由等比形式给出的条件， 大多可以通过
设公比为 % (或 !
%) 的换元方法， 容易使问题获解
例 ! 已知： ! % ， !
!
% !
求证： (!’! (’ !， ， ， %)
分析 由 !， ， ， % 的对称性知， 只需证明其
中一个属于区间 [(， ] 即可
证明 由!得 ! ) %，令 (
) %
)(
(， ( !， ， ) ， 则)! ) ) (
由得 ! )
% !
(’ ) %
)!)
(’ ) %
))
(’ ) %
))
(’ ) %
)
) %
! ) )) )
! )
)
(’ ) %)
)
! )
)
(’ ) %)
即 )
%’ ) !%
%
故 (!%!
依对称性知： (!’! (’ !， ， )
注 对于 个变量之和为定值的问题， 常以它
们的平均值与一个增量 )’
之和的形式换元注意!
!)’ (， 这是常用的一种均值代换! 第三节 待定系数法
一、 什么是待定系数法
在数学和其他自然科学中， 存在着大量的求未
知数的值， 求未知数的范围或者求几个未知量的关
系的问题!
例如， 物理学中有这样一个简单问题：
一个弹簧， 不挂物体时长 !， 挂上物体后会
伸长， 在弹性限度以内， 弹簧伸长的长度与所挂物体
的重量成正比% 若挂上( 物体后弹簧总长是!%)， 求在弹性范围内弹簧的总长度 与所
挂物体重量 (’ 之间的函数关系式!解答如下：
设弹簧总长 与所挂物体的重量 (’ 之
间的函数关系为
+ % !
将条件 ,时 !； 时 !!)代入， 得! , · + %，!!) + %
{ !
- !
， % !!
故 !
+ !!
解决以上问题的关键是明确物体的重量 与
弹簧的长度 间的函数关系
+ % !
其中， ， % 是待定系数!再根据已知条件列出 ， %
的方程组解出!
以上方法就是待定系数法!! !这种方法的特点是：
判断所研究问题的结构具有某种确定的形
式， 其中含有某些待定的系数；
根据题设条件找出待定系数的数量关系式；
根据以上关系式， 解出这些系数的值、 存在
的范围或彼此的关系!
特点 中所说的 “待定系数的数量关系” 可以
是方程或方程组， 不等式或不等式组， 或者是方程与
不等式的混合组!
待定系数法是解决 “含参问题” 的通法， 具有一
定的指导意义， 因此可以说， 它体现着一种数学思
想， 即方程与不等式的思想!
二、 应用举例
例! 已知多项式
% 能被
整除， 求证： % % !
证明 设商式为 (， 则
% % ( (
)
%
(
(’
比较对应项的系数， 得
% (，% %， % (’
{ !!% % !
例 满足等式
)
%) 的正实数， )， 能
使关于 ， 的多项式 ) !分解成两个一
次因式之积， 求， ) 的值!
解 设 ) ! % ( ) (% )! ! ! !% %
比较对应项系数， 得! ! ， % ! ， !% !， ! ( )
所以( ! !% ! ) !
图 %
(， ( (，)
!(，+ ( ! , !’( )
将!代入， 得 ( ! ,)
由!， 可解得
!
,)
! )
， ( !
,)
% ! )；
或 !
,)
% ! )
， ( !
,)
! ))
例! 已知函数 ! !)
的图象经过原
点 ((， ， + (，% ) ， , ， ， 在图象上有点 -， 满
足- ! -( .， 试求点 - 的坐标)
解 如图 —， 因为点 ((， ，+ (，% ) ，, ， 在函数 ! !)
的图象上， 所以
! (，! ! % ，.! ) ! (
{ )
解得 ! ! ， ! % )， ! 所以， 已知二次函数的
解析式是
! )
% ) )
因为点 + 的坐标为 (，% ) ， 且- ! -( .， 所以
-, ! . .， 于是点 - 在第
一象限的角平分线上)
设点 - 的坐标为 (， ) ，将它代入 ! )
% )， 得! !!
! %
解得 ! ， !! % (舍去)
故点 的坐标为 (， )
例 ! 已知函数
%!!! ( ! !!
的最大值为)， 最小值为 ， 求此函数的解析式
解 将原式变形为
( %) !!! ( ! ( ) %
!+，,! ( ! ( ) !
( ( %) ( ) %， 即
!
(% ) (% !) % !
)， 则 ( ) ( )) %， 即
!
- )%
比较!， 的系数， 有
% -，% ! )
{
% % .，
{
或 % ， .
{
故所求的函数解析式为
.!!! ( ! !!
或 !!! ( .!!
例 具有公共焦点的椭圆与双曲线的中心均
在原点， 对称轴是坐标轴， 焦点在 ! 轴上， 其离心率
互为倒数， 虚轴长与长轴长之比为 !
， 焦点到渐近
线的距离为 ， 求椭圆与双曲线方程
解 设椭圆与双曲线的方程分别为!!
%!
!
%!
! 与 !!
!
!
!
! ，其公共焦点为 ( ( ， %) ， 离心率分别为
% ，’
， 双
曲线的渐近线方程为
!
! !
! ! 因为它们的离心率互为倒数， 则!
·!
! !
因为虚轴长与长轴长之比为
， 则!
!
!
因为双曲线的焦点到渐近线的距离为 ， 则! !
! !!
由!， ， 解得 ! ， ! ， ! ! !
故所求的椭圆和双曲线方程分别为
%
%
! 和 %
!
例 ! 已知椭圆：%
%! ， 直线 (： ! %
) 如果 上存在着关于 ( 对称的不同两点， 求 )
的取值范围
图 (
解 因直线 ( 的斜率 ! ， 设与 ( 垂直的直线 (+的
方程为 !
% (如图
(—) 由 (+与’ 有两个不同
的交点， 则有
!
% ，%
!
{
消去 ， 整理得)%
%% %
! +，, !!
% · ) (%
) - + !
设 (+与’ 的交点为 , (%， ) ， - (%， ) ， 线段
,- 的中点为. (%+， +) ， 于是! ! !! !
!
%
， !
! !
%
{ %
在直线’ 上，(
%! ·
%
( % !
由得 ) ，
由!得 !
%
(，
代入得 +
,(
) %
( !
%) ( ) !
%
%
故 ( 的取值范围是 ( !
%
，!
%) %
第四节 数学归纳法
一、 归纳法
同学们大概还记得， 在学习同底数的正整数幂
的乘法法则时， 是从观察下列乘法开始的：)
·)%! ·)) ·)·))! )·)·)·)·) ! )-；
%
·,! (··) · (···)! ······ ! .；!-
·!-! (!…{!) (!…{!) ! (!·!… {!) ! !
%
-个 ! -个 ! 个 !
我们可以看到， 以上运算的共同特点是等号左
边的两个因式是同底的幂， 右边的结果也是幂的形! 式， 其底数与左边相同， 指数恰好等于左边两个幂指
数之和!
如果掌握了这一规律， 那么， 在进行同底数的幂
的运算时， 就可以省去中间过程， 直接得到结果!如，!
·!
%；
!!
·%!
%!
一般地， 若 ， 是正整数， 则
% ·%
% !
这就是同底数幂的乘法法则!
以上采用的方法， 就是归纳法!
所谓归纳法， 是由个别 (特殊) 的情形作出判断，扩大到对一般事物的判断的一种推理方法!简言之，是一种由特殊到一般的推理方法!
与归纳法相反的情形， 即由一般到特殊、 由整体
到个别情形的推理方法， 叫做演绎法!
归纳法和演绎法是两种基本的推理方法， 也是
数学推理的两种基本方法!
二、 归纳法得到的结论一定正确吗
请看两个例题!
例 ! 我们知道， 三角形内角和为 !( ；
四边形， 可以用一条对角线将它分为两个三角
形， 其内角和为 % ) !( ；
五边形， 可以用从一个顶点画出的两条对角线
将它分为 个三角形， 其内角和为 ) !( ；
六边形， 可以用从一个顶点画出的三条对角线
将它分成 个三角形， 其内角和为 ) !( ；! ……!
从以上情形可以看出， 它们的共同点是： 被从一
个顶点画出的对角线分成的三角形数是边数减 !，其内角和是 与边数减去 ! 的差之积!于是可以
归纳出：
边形内角和% ( !) !
例! 已知函数 (%) % %!
( % ( ， 我们用
表示 % % 时的值!令 % ， !， …， )， 得
% ， 是质数；
% +， 是质数；
() % !， 是质数；
(,) % ， 是质数；
(-) % ,， 是质数；
(.) % -， 是质数；
(+) % .+， 是质数；
% ， 是质数；
% ， 是质数!
于是归纳为： 当 % 取一切正整数时， (%)% %!
( % (
的值是质数!
以上两例都是用归纳法得出了一般性的结论!
例 的结论是正确的， 可以对其进行严格的证明； 例!的结论则不正确， 事实上!
% !
( ( % ! %
并非质数
还有一个著名的例子
被誉为业余数学家之王的法国 + 世纪数学家
费马考查了
% !!
( (费马数)! 的值， 得到了如下结果：! !
% ，! (%)
%
%’，!
% %(，!
% )
(，! ()
% %+
% +’’(
以上结果中的每一个都是质数， 于是费马作出
了如下判断： 对于一切自然数， 式子 !
%
的值都是质数
费马失误了 , 一个世纪后的 %( 年， 瑞士大数
学家欧拉计算出!
%
% --+(-(
是一个合数， 它等于 +% . +(!!%(以后， 人们还举
出了 个费马数是合数除此以外， 新的费马数还
一个也未找到
由此可见， 用归纳法得出的结论并非完全正确
正如革命导师列宁曾经指出的 “用最简单的归纳方
法所得到的最简单的真理， 总是不完全的， 因为经验
总是不完备的”
三、 怎样保证归纳的结论的
正确性呢
归纳法， 是发现和探索问题的结论的重要手段
但是， 怎样保证归纳的结果的正确性呢？
一般地， 有以下几种方法! ! 枚举归纳
如果研究的对象是有限的， 我们可以一一对他
们进行考查， 用这种方法归纳出的结论肯定是正确
的!这种对被研究的对象一一考查后， 得出结论的归
纳方法叫做枚举归纳法!
例! 周长为 !， 各边长互不相等的三角形有
多少个？
解 不妨设 ， 则
% % !， !
% !
{
由!， 得 % ! ， 代入得! !
又 !!
% (， ( ，而 是整数， 故 % ((， (+， (!， (,!
当 % ((时： % (， % -!
当 % (+时： % ((， % .； % (， % !
当 % (!时： % (+， % )； % ((， % 0； % (， % .； % -， % !
当 % (,时： % (!， % !； % (+， % ,； % ((， % )； % (， % 0； % -， % .!
故满足条件的三角形共有 (+个!
分类讨论
如果研究的对象是无穷多个， 当然不可能对它
们一一研究， 即不可能用枚举归纳法!即使研究的对
象是有限的， 但是如果数量很大， 也不便用枚举归纳! 法!这时， 可以按照某一标准， 将研究对象分为几类，逐一对每一类进行讨论， 这样归纳出的结论， 也是正
确的!这种方法叫做分类讨论!
例! 平面上有 、 、 、 % 四点， 其中任意三点
不在同一条直线上， 求证： !、 !%、 !%、!% 中至少有一个三角形的一个内角不超过! !
分析 由于四点 、 、 、 % 在平面上的位置会
影响到以它们为顶点的三角形的形状， 因此， 应考虑
此四点所处的位置的不同情况!
无三点共线的四点的位置无非两种情况： 一是
它们是一个凸四边形的四个顶点， 另一是它们不是
一个凸四边形的四个顶点!
证明 平面上无三点共线的四点 、 、 、 % 的
位置可分为如下两种情形：
若 、 、 、 % 是一个凸四边形的四个顶点
(如图 —左) !因为
图 %
% % % ，所以， 其中至少有一个角不超过 ) ， 不妨设%
) ， 而
% %，所以， 与% 中至少有一个角不超过 ! !! (!) 若 !、 、 、 不是凸四边形的四个顶点， 则
必有一点在以其他三点为顶点的三角形内%不妨设
在!! 内 (如图 —右) %因为
! ! ! %( ，所以， !、 !、 ! 中至少有一个角不超
过 )( ， 不妨设!)( %而
! % ! !，所以， !、 ! 中至少有一个角不超过 ( ， 当
然也不超过 %
根据 ， ， 命题获证%
分类讨论的详细研究， 在后面的第六章第四节%! 数学归纳法
有一些问题是涉及到关于自然数 的命题， 被
研究的对象无穷多%
例如， 证明 (式中 为正整数)
!
…
% [’ (’ )!
] !；
!
…
!’
+
, (’ - ) %
我们不能逐一考查它， 也不便进行分类， 枚举归
纳法和分类讨论法均难奏效， 这时， 就要用到数学归
纳法%
四、 数学归纳法及其应用
什么是数学归纳法
高中数学课本对数学归纳法作了详细的讲解：! !对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命
题， 我们经常采用下面的方法证明它的正确性： 先证
明当 ! 取第一个值 !! (例如 !! ) 时命题成立， 然
后假设当 ! (!， !!) 时命题成立， 证明当 !
% 时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳
法
用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的
步骤是：
证明当 ! 取第一个值 !! (例如 !! 或
等) 时结论正确；
假设 ! (!， 且 !!) 时结论正确， 证
明当 ! % 时， 结论也正确
在完成了这两步以后， 就可以断定这个命题对
于从 !! 开始的所有自然数 ! 都正确
华罗庚先生在 《数学归纳法》 这本小册子中， 用
“小孩识数” 这一通俗的例子来说明数学归纳法的实
质： “会数 ； 会数 个数就会数它的下一个数， 从而
也就会数一切数”
还有一个有趣的例子同学们在电视里见过多
米诺骨牌如果场地和时间允许的话， 可以让骨牌无
限地摆下去多米诺骨牌具备两个条件： 推倒第
一块骨牌； 若某一块骨牌倒下了， 那么它后面的
一块也会倒下于是可以说所有的骨牌都可以倒下
例! 用数学归纳法证明 ! %
%
! %
% … %
!
(
)
(!)
证明 当 ! 时， 左边
%
%
%
(! !
%
(
， 不等式成立!
假设 (!) 时， 不等式成立， 即
! !
! ! …!
(
!
当 ! 时，左边
! !
! (! …!
!
! !
!
(
! !
! ! … !
)!
! !
! )
!
(
!
( ! ) ! ( ! ) ) ( ! )
( ! ) ( ! )
(
!
( ! ) ( ! )’
(
这就是说， ! 时， 不等式成立!
根据 和 ， 原不等式对任何不小于 的自
然数恒成立!
例 ! 用数学归纳法证明
(! (! … ! (! ( (! ! … ! )
(
( ! ) (
(+) !
证明 当 时， 左边 (! ( ·
， 右边
(
( ! ) (
， 等式成立!
假设 时等式成立， 即
(! (! … ! (! (· (! ! … ! )
(
( ! ) (
!
当 ! 时，(! (! …! (! ( ! ) (! (· [! ! … ! !
( ! )
]! !
%
… !
· (
%
… !)(! )
(! ) !!
(! )
%
(! )
· (! ) !
(! )
%
[!
% (! ) %
]!
%
(! )
[ (! ) ]
这就是说， ! ! 时等式成立
根据 和 (%) ， 对 !(等式成立
例 ! 已知数列{} 的通项 ! %
试问是
否存在常数 %， ， 使等式
% %
…
!
%%
) ( ) ( %)
对一切自然数 都成立
分析 上述例 ， 例 % 的结论都是肯定的， 题目
只要求用数学归纳法证明本例与例 ， 例 % 不同的
是我们并不知道是否存在 %， ，， 使 成立因
此， 只有先猜测出 %， ， 之值， 才有可能利用数学
归纳法去证明此属探索性问题
解 令 ! ， %， ， 得方程组
!
%
%)
，
% %!)% % )
，
% %
!
+%
,?
即
% ! ，)% % ! %%，+% ! )%
{ ! 解得 ! ! ， ! ， !
%
%
( %(
…’
%!
(
) ( ) ( (!!)
以下用数学归纳法证明
当 ! 时， 等式成立
( 假设 ! 时等式成立， 即
%
( %(
…’
%’!
(
) (’ ) (’
当 ! 时，
%
( %(
…’
%’
(’ ) %’ !
(
) (’ ) (’
(’ ) [ (’ ) (
(’ ) ]!
(
) (’ ) (’
(’ ) (’ )!
)’(
+) (’ ) (’ (’ )!
(’ )
(’ ) (’ ) (’ (’ )!
(’ ) (
(’ )) (’ (’ )
这就说明， ! 时 (!!) 成立 ,由 和 ( 知， 对一切 -， (!!) 成立 ,例 ! 用数学归纳法证明：
(
)
…’
(
.
( 0 )
证明 ! (时，左式!
(
!
1
，右式! (，%左式 右式， 原不等式成立! (!) 假设 ! 时不等式成立， 即
!
%
…
!
!
当 ! 时，左边
!
%
…
!
! …
!
! …
!
! ……
!
?
?
!
个 !
右边，这就是说， 原不等式当 ! 时也成立
根据 和 知， 原不等式对任何大于 的自
然数都成立
数学归纳法能证明的问题非常广泛， 包括代数
中的恒等式、 不等式、 数列问题、 整除问题， 以及三角
的、 几何的问题等等数学归纳法还有许多变式， 如
被称为 “第二数学归纳法” 的步骤是：
验证 ! 时命题成立；
假设当 !!! 时命题成立， 推出 !
时命题成立
根据 和 知， 对一切自然数命题成立
例 ! 设无穷数列 ， !， %， …， !， …由关系
式
! ! ( %) ! %! ( (!)
以及 ， ! % ((， % 确定， 试用数学! 归纳法证明： ! 可以由首项为， 公比为 的等比数
列前 项和来表示%
证明 当 !和 时， 由题设!! 及! (!%， !%)
知命题显然成立%
假定 为自然数%对于 ! 命题都成
立， 则! !
…
，!
…
!
，’ ! ! (! ) ! ! ! %，( ! ! ! (! ! !) %%
! ! !
!
，( ! ! ! ·
!
!
…
!
%
所以， ! !是以 为首项， 为公比的数列的前 !
项之和%
由 和 知， 命题对所有的自然数 都成立%
又如被称为 “跳跃归纳法” 的步骤为：
验证当 !， ， …， 时命题成立；
假设 时， 推出当 时命题成
立%
根据 和 知， 命题对一切自然数都成立%
例 ! 对于 ( ) % 及 ， 试用数学归纳法证
明
(
(
…!
( !
( !%
证明 !时， ( !
( ! !， 不等式成
立%! ! ! 时，
%
! %， 不等式成立
设 ! ! 时， 不等式成立即
…
%
%
! %
当 ! ! 时，
…
%
%
%
!
%
%! % ! ( ) %，即 ! ! 时， 不等式成立，故对于 及 !(， !
!
…
%
!
%
! !! %成立
例 ! 商店有大量 ) 千克和 千克两种包装的
白砂糖 + 证明： 不论买多少不少于 , 千克的整千克
数的白砂糖， 都不用拆包而直接提取
证明 (%) 验证买糖的千克数 ! 为 , 至 % 时不
用拆包事实上， , ! ) ， - ! ) . )， % ! ， %% ! )
. ， % ! ) . ， %) ! . )， % ! ) . ) ， % !
. )
假设 ! ! (!,) 时成立， 即买 , 千克以上
整千克数的白砂糖不用拆包则! ! ,时， 由于 , ! )， 只要再加上 ) 千克
和 千克的白砂糖各一包即可
根据 (%) 和 ， 命题获证 +
数学归纳法还有一些变式， 同学们可阅读有关
的书籍! 第六章 数学思想— — —数学
解题的灵魂
第一节 什么是数学思想
一、 从二元一次方程组的解法谈起
先看一道二元一次方程组的求解题!
解方程组：! % ， !
% !
{
解法一： 由!得： % ! !
代入得： (! ) % ，( % )，
代入得 % !
(
% )，
{ %
是原方程组的解!
解法二： ! 得 +, % )，( % )!
将 % )代入得 % !
(
% )，
{ %
是原方程组的解 -
解法一是代入消元法， 解法二是加减消元法!
代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组! 的两种基本方法!这两种方法操作程序不同， ......
第一章 热爱·兴趣·勤奋 ! ………………………
第二章 数学概念— — —数学的源头 ! ……………
第三章 符号语言— — —最简炼的数学
语言 ……………………………………
第四章 公式、 定理、 法则— — —解决数学
问题的工具 % ……………………………
第五章 数学方法— — —数学解题的
杠杆 ……………………………………
第一节 配方法 ……………………………
第二节 换元法 ……………………………
第三节 待定系数法 ………………………
第四节 数学归纳法 (! ………………………
第六章 数学思想— — —数学解题的灵
魂 ………………………………………
第一节 什么是数学思想 …………………
第二节 几种深层次的数学思想 ) …………
第七章 数学能力— — —解决问题的
才智 !%! ……………………………………
第一节 运算能力 !%! …………………………
第二节 空间想象能力 !’ ……………………
第三节 思维能力 !! …………………………
第四节 应用能力 ! …………………………!第八章 解题— — —数学的心脏 ! …………………
第一节 解题的思维过程 ! …………………
第二节 怎样解题 % …………………………
结束语— — —名家论谈’ ……………………………!编者絮语
最近，湖北教育出版社的同志邀约我写一本
《怎样学数学》的课外读物，给中学生及数学学习
者谈一谈怎样学数学的问题，我欣然接受了这一邀
请! 因为我无数次地听到学生和家长向我提出过同
一个问题：怎样学数学!
撰写《怎样学数学》 ，对我是一个督促，促使
我坐下来认真地思索这一个无数次要求我回答而又
未能给出令人满意的答案的问题，对我也是一个鞭
策，促使我总结自己近四十年从事数学教学的经验
和体会，在我即将退休之际，交上一份较系统、完
整的答卷!
要学好数学，与要做好其他任何一件事情一
样，要热爱它，要对你做的事情产生兴趣，要有勤
奋钻研的精神，这是第一点，本书开篇表述了我的
这一观点!
第二，要学好数学，与学习其他任何一门科学
知识一样，要打好基础，如同建造房屋要夯实地基
一样，基础赵深越牢，房屋才能建造得越高!
数学的基础包括：基本概念、数学语言、数学!命题(数学公式、定理、法则等) 、基本数学方法、基本数学思想! 它们都是继续学习其他课程以及参
加生产劳动和实际工作所必备的数学知识与技能，本书在第二、三、四、五、六章分别对上述基本知
识、基本方法和基本技能作了阐述，从“是什么，为什么，怎么办”等方面作了详尽的剖析，以利于
读者领悟基础，加速掌握!
第三，本书第七章，以较大的篇幅阐述了数学
能力! 培养数学能力，是中学数学教学大纲中规定
的重要教学目的之一! 什么是数学能力？有哪些数
学能力？如何培养和提高数学能力？本书进行了深
入浅出的探讨，对数学的四大能力：运算能力、空
间想象能力、思维能力和应用能力的含意、要求、培养方法与途径作了精辟的阐述!
第四，学数学的绝大多数时间花费在解题上，可以说，解题是数学学习的心脏! 本书第八章是关
于数学解题! 书中揭示数学解题的思维过程，例说
解题的四个环节：审题、探索、表述和回顾，采用
“分镜头” 、“慢镜头” 、“特写”等手段，把思维
“暗箱”打开，让一个个成功的解答是如何蕴酿、萌芽、形成、开花和结果的过程暴露在读者面前，并以一道常见题作示范，展现如何审题、如何思
索、如何表述、怎样反思，显示了解题的全过程!
或许，你在阅读本章以后，能够领略解题的乐趣，品味解题的甘甜!
常常听到学生本人说或者家长讲自己的孩子，!上课都听懂了，为什么考试又总考不好呢？要回答
这个问题不难，是因为学生或他们的家长还不了解
数学学习的全过程!
我经常在不同的场合讲述一个观点，学习数学
有四个阶段：懂— — —会— — —熟— — —活! 你上课听懂
了，自己动手并不一定会做，俗话说： “看事容易
做事难!”由“懂”到“会” ，有一个过程，要动
手，要实践，才能学会，才能掌握! 又有同学说：
“平常的作业会做，怎么考试时又不会做了呢？ ”或
者说： “这道题我一出考场就会做了!”这是真实情
况! 因为平常说的“会做” ，往往是模仿性地做，一法一题地学着做，老师课堂上讲什么，课下你就
做什么，有法可依，有章可循! 而考试则不然，考
题一般不指明该题属于什么类型，要用什么方法!
考题涉及的知识面广，常常有一定的综合性，需要
你对知识和方法的掌握要比较牢固，能举一反三，融汇贯通，这是其一；再则，平时作业量少，一个
小时做三五道题，而考试则常常要求一个小时做十
几道题，平时不熟练，考试就会感觉时间不够! 所
以，平时训练，不能仅仅满足于“会” ，而且要
“熟” ! 尤其是基础的东西，不能只是“懂”和
“会” ，要立足于“熟” ，这是学好的决窍，熟了，自然就活了，熟能生巧嘛! 熟了，才能运用自如，得心应手，左右逢缘! 其实，这不仅仅是我这么
讲，数学名家们也都是这么讲的! 请你认真读一读
这本书的结束语— — —名家论谈，你将从中受到极大!的启发!
在撰稿的过程中，参阅了一些资料与专著，在
此向有关作者一并致谢! 由于本人水平有限，缺点
和错误在所难免，不当之处，敬请读者不吝赐教，本人不胜感激!
刘绪占!!年 月于武汉!第一章 热爱·兴趣·勤奋
数学， 是一门古老而年轻的科学!
两千多年前的古希腊人， 就创立了以公理化体
系为基础的逻辑数学， 更早几百年， 我国商代商高就
发现了勾股数： “勾三、 股四、 弦五” !
从!世纪开始兴起的变量数学， 尤其是 ! 世
纪中叶至今的一个半世纪， 数学经历了深刻的形象
化与抽象化的改造与提炼， 业已发展成今天拥有上
百个分支的庞大知识体系， 它的内容、 思想、 方法乃
至语言都广泛地渗入到社会科学和自然科学的各个
领域!
数学原本是有着它的现实原型和广泛应用的科
学， 但是， 在我国传统的教材中， 内容的公式化， 解题
方法的模式化， 加上数学方法的机械化忽视了它的
现实原型和应用!更由于高考中偏题、 难题的负面影
响， 使学生面对题海难于突围， 一些学生对数学学习
不感兴趣， 甚至厌烦!
一、 热爱— — —学习数学的动力!年底， 美国及其盟国在实施 “沙漠风暴” 行
动打击伊拉克之前， 伊拉克人曾扬言， 如遇进攻就要
烧掉科威特的油井!为此， 美国国防部要求太平洋!— — —赛拉研究公司研究伊拉克点燃油井后对世界环
境的影响!该公司利用纳维尔— — —斯托克斯方程和
有热损失的能量方程作为计算模型进行计算， 得出
结论： 大火的烟雾可能招致一起重大的污染事件， 它
将影响到波斯湾， 以至伊朗南部、 巴基斯坦和印度北
部!但是， 不会造成全球性气温变化， 也不会对地球
生态和经济系统造成无法挽回的损失!这一判断， 使
美国决策人下决心实施 “沙漠风暴” 行动!
这一实例说明， 数学在现代战争中有着举足轻
重的作用!有人说， 第一次世界大战是 “化学战” (火
药) ， 第二次世界大战是 “物理战” (机械) ， 现代战争
是 “数学战” (信息、 计算机) !
数学， 以应用的广泛性为其特点之一!
小至日常生活中柴米油盐酱醋茶的买卖、 利率、保险、 医疗费用的计算， 大至天文地理、 环保生态、 信
息网络、 质量控制、 管理与预测、 大型工程、 农业经济
均大量存在着运用数学的踪影!
举例来说， 长江三峡枢纽工程是举世瞩目的!按
照设计， 三峡工程水电装机总容量为 ! 万千瓦，年发电量为 %亿度， 建成后的三峡大坝， 将是一座
高达米、 长近 米的混凝土拦江大坝， 简直
是一座混凝土的小山!建造如此宏伟的工程， 要解决
无数难题， 其中最重要的问题之一是大体积的混凝
土在凝结过程中化学反应产生的热量!这种巨大的
热量将危及大坝的安全!我国科学家自行研制的可
以动态模拟大体积混凝土的施工的温度、 应力和徐
变的计算机软件， 可以用来分析、 比较各种施工方
案， 设计最佳的施工过程控制， 还可以用来对大坝建!成后的运行期进行监控和测算， 以保障大坝的安全!
在长江三峡大坝的建设中， 可以说数学功不可没!
再举一个例子： 我国研制原子弹， 试验次数仅为
西方国家的十分之一， 从原子弹爆炸到氢弹研制成
功， 只花了 ! 年零 个月， 大大低于美国所花的时
间， 其原因之一是选派了许多优秀数学家参加了研
制工作!
%年， 华罗庚教授精彩地指出： “宇宙之大，粒子之微， 火箭之速， 地球之变， 生物之谜， 日用之
繁” 无一能离开数学!
还应指出的是， 数学的作用， 并不仅仅是解决当
务之急， 常常有这样的情况， 数学中一个性质的发
现， 一个理论的产生带来的效应并不一定立竿见影，有的是几十年、 几百年甚至更久远的时候才能找到
它的应用!
古希腊人创立的几何体系， 是人类理性文明的
结晶， 在当年谈不上什么用场， 可它偏偏成为 !
多年以后的现代人必备的知识!
世纪， 意大利数学家卡丹尔把 分解为 (% %) ( ! % ) ) %) ， 尽管他自己也认为这样的数
“不精致又不中用” ， 但这是虚数的萌芽!数学家吉拉
德支持了卡丹尔的见解， 提出 “虚数可以作为方程的
形式解” !虚数的出世， 开始就受到嘲弄和打击， 包括
一些有名望的数学家的干预： “不可思议” “纯属虚
构” !经过 ! 多年几代数学家的艰苦努力， 人们才
揭开了蒙在虚数头上神秘的面纱， 当年被认为是 “虚
无漂渺” 的数， 早已成为科学技术中的基本量!
人们在发现了太阳系的第七颗行星— — —天王星!以后， 观察它的运行情况， 感觉与理想的不一致， 违
背了 “规律” !天文学家勒维列猜想： 这是由于天王星
外行星的引力所引起的!他根据引力法则， 通过复杂
的数学计算， 终于推算出在天王星轨道外存在新的
行星， 根据勒维尔预示的位置， 天文工作者终于找到
了太阳系第八颗行星— — —海王星， 人们称它为 “铅笔
尖上的行星” !!世纪最伟大的科学家爱因斯坦创立广义相
对论的时候， 遭遇了一个难题， 他无法从理论上解释
自己的发现， 让他一筹莫展!在友人的提示下， 他找
到了黎曼几何， 解决了这一难题!原来， 早在半个世
纪以前， 德国数学家黎曼凭自己的兴趣， 追踪几何内
部的矛盾， 把对三维空间的研究推广到 维空间，革新了几何观念， 创立了新的几何— — —黎曼几何， 就
像是为爱因斯坦的相对论准备的理论基础!
诺贝尔物理奖获得者温伯格曾感叹： “当一个物
理学家得到一个思想时， 然后却发现在他之前数学
家已经发现了!”
数学的应用如此广泛、 深远!
改革开放以来， 我们的祖国发生了翻天覆地的
变化， 各项事业突飞猛进， 人民生活水平大大提高!
但是， 我们还应看到， 与世界经济强国比， 我们还差
得很远!拿国民生产总值来说， 美国一年是 ! 万亿
美元， 而我国只有 万亿美元!我们与美国的差距主
要还在科学技术!而今， 国际上有一种说法： 高新技
术的基础是应用科学， 而应用科学的基础是数学!为
了强国， 我们绝没有理由不学好数学!
热爱数学吧， 它会给你以动力!!二、 兴趣— — —最好的老师
中国古代教育家孔子说过： “知之者不如好之
者， 好之者不如乐之者!” 这表明兴趣是最好的老师!!!年， 一位 !岁的法国士兵在荷兰布莱达地
区的一块招牌上， 看到了一道有趣的带有挑战性的
数学问题， 他便怀着极大的好奇心钻研起来， 并终于
解决了这道数学趣题!他因此受到了莫大的鼓舞， 坚
信自己的数学才华， 从此， 他与数学结下了不解之
缘!这位年轻人就是法国的大数学家笛卡尔!笛卡尔
建立了直角坐标系， 创立了解析几何， 为数学的发展
作出了不可磨灭的贡献!
翻开众多科学家的传记， 可以发现， 不少人的发
明与创造， 往往与其兴趣和好奇分不开!
“哥尼斯堡七桥问题” ， 引起了 !%世纪享有盛名
的伟大数学家欧拉的兴趣， 他绝妙地解决了千万人
解决不了的难题， 并在此基础上， 开创了一门新的数
学分支— — —拓朴学!
我国著名数学家陈景润， 由于受他的中学数学
老师所讲述的 “哥德巴赫猜想” 这一难题的诱惑， 以
惊人的毅力， 花费了 多年的时间钻研数论， 到达
了当今摘取数学皇冠上这颗美丽灿烂明珠的最前
沿!
说起美， 人们马上会想到描绘人和自然的图画
美， 令人陶醉的音乐美， 雄伟壮丽的建筑美， 但对数
学的美， 并不为大多数人所了解!
美国数学家克莱因说： “哪里有数学， 哪里就有!美” ， 这话一点也不过分!
人们用最美的词句赞美数学： “自然科学的皇
后” “皇冠” “明珠” “稀世珍宝” “巍峨的阶梯” “金碧辉
煌的宫殿” “人造宇宙” “无限真与美的王国” 等， 这些
一点也不夸张!
概括地说， 数学的美表现在它的简捷和明快， 统
一又和谐， 对称且严谨， 奇异而抽象!! 简捷美
音乐家用 !、 、 、 、 %、 、 这七个音符谱写旋律
优美的乐章， 数学家用 (， !， ， …， ) 这十个阿拉伯数
字编织了无限数的空间， 用点、 线、 面这三种基本元
素构筑了美丽的形的大厦， 规定用最简单的工具
— — —圆规和无刻度的直尺作出了无数复杂的图形，对人类的智慧提出挑战!
古希腊毕达哥拉斯学派认为 “一切立体图形中
最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形” !这
个观点有一定的道理：
除了直线， 圆是最简单的图形；
圆有着全方位的对称性；
圆的近亲是直线， 因为它们有着相同的性格， 直
线是构成直线形的基本材料， 而圆是产生椭圆、 双曲
线、 抛物线和其他一些曲线之母， 直线有着 “最近” 的
属性， 而圆具备相同面积的区域的最短边界!
圆的周长 与直径 之比是常数!， 这种关系
可简明地表示为 !， 其面积 与半径 % 的关系
为 !%
， 如此简朴!
但圆有着它倔强的个性： 无论怎样割补， 总也不!能拼成正方形!
球具有和圆类似的特征!
形式十分简单的二次函数 !
(!) ， 体现
着世间许多事物的共同关系： 圆的面积公式 % !!
； 自由落体运动 !
； 爱因斯坦的质能公式
! +,
， 它的曲线既可描绘投掷物体的路径， 又可
刻划天体运动的轨道……诸多事物的共性汇聚于这
么一个简单的函数关系式之中， 难道有什么比数学
更简捷， 更完美的吗？! 统一美
人类社会错综复杂， 自然界千奇百怪， 但数学能
从深层次去揭示其内在联系与本质特征!
三角形内角和为 % -， 多边形外角和为 -， 直
角三角形三边长满足勾股定理， . 次方程都有 . 个
根!
“勾三股四弦五” 是 “勾股数组” 的一颗晶莹透亮
的明珠， “勾股数组” 又是勾股定理的特例， 而勾股定
理又被余弦定理所包含!
自然数— — —整数— — —有理数— — —实数— — —复
数， 在数的家族不断扩大的进程中， 既统一又和谐，层次清楚， 关系严谨!
初中数学中的正比例函数 ! ， 反比例函数 !
， 二次函数 !
等， 原来都是幂函数 !
的
子民!
圆锥曲线是继圆以后人们最早认识的一类曲
线， 对它的研究已有 多年的历史了， 它的内容!虽然古老， 但对近代和现代数学有着深刻的影响!
椭圆 (含圆) 、 抛物线、 双曲线都是平面与圆锥曲
面的交线， 其名称因此而获得；
在直角坐标系中， 圆锥曲线的方程都是二次的；
它们的形态各异， 但有着统一的定义： 到一定点
与一定直线距离之比 等于正常数的点的轨迹， 并
有着严格的界限， 不可逾越：! 时， 曲线是椭圆， 时， 曲线是抛物线， % 时， 曲线是双曲线；
在极坐标系中， 圆锥曲线有着统一而简捷的方
程!
；
更奇妙的是， 宇宙的天体运动、 人造卫星以及宇
宙飞船的运行轨道， 都是这四种曲线之一!
虽然， 它们有着不同之处： 椭圆和双曲线有两个
焦点 (圆的两个焦点视为重合) ， 抛物线只有一个焦
点， 但是如果固定椭圆和双曲线的一个焦点和相应
的顶点， 让另一焦点无限远离， 那么， 它们会各自逼
近抛物线!于是， 我们有理由认为： 抛物线也有两个
焦点， 第二个焦点在无穷远处!! 对称美
圆、 等腰三角形、 正方形、 五角星都是对称图形，它们都有对称轴， 有的还成中心对称!
正多面体、 正棱锥、 圆柱、 圆锥、 圆台、 球都具有
对称性!
对称图形给人以庄重美， 我国的古代建筑大多
有对称的风格： 宏伟的天安门， 庄严的人民大会堂，!巍峨的故宫， 人民英雄纪念碑……
我国三国时期数学家赵爽用如图 !—! 的对称
图形证明了勾股定理， 其构思十分简捷：
图 ! !
显然 !
( )
% ·!
，所以 !
%
对称， 不是 “形” 的专利， 只
要留心， “数” 中的对称彼彼皆
是如对称多项式、 对称方程、对称函数等等
二项式定理 ( % ) %
图 !
%%
% !
%% !
%… % % !
% % !
%
%
%’
%
， 形式整齐， 对
称而和谐我国南宋
数学家杨辉在 !(!
年所著 《详解九章算
法》 中载有二项展开
式系数的构成表 (类
似于图 !—) ， 这是
数学的对称美的典范
数学的对称美， 不仅仅在于形式， 更是一种解题
的思想方法
例 ! 分解因式
( % % !) (! % ! % ) !
解 我们将 ( % % !) (! % ! % ) ! 看
成 的多项式， 当用 代 时， 有
( )
( % % !) [! % ! ( ) % ( ) ] ( ) !!! !
!
! %
所以， 多项式有因式 ( !) 由于原多项式是 ， !， 的轮换对称式， 根据对称性知， 也一定有因式 (!
) 和 ( ) 而原多项式是 ， !， 的三次齐次多项
式， 则它与 ( !) (! ) ( ) 只差一个常数因
子设
( ! ) (! !) !! % ( !) (! ) ( )
令 ! ! ! ， ! %， 代入上式， 求得 % !
故原式可分解为 ( !) (! ) ( )
例 ! 设 ， 均为正数， 且 ! ( %) ， 求
·’ 的最大值
分析 ， 在条件式里的地位相同， 根据对称
原理， 我们可以预测， 当 ! !
时， ·’ 有最大值
(
解 因为 ， 均为正数， 且 ! ， 则
(’ ! ( )
( ) !
( )
当且仅当 ! 时， (’ 取得最大值
故 的最大值是
(
奇异美
(%) … ! ))!
,)
!
,)
-!
,!
.
…
%
%
! ! !!…{! …{! %%…{%
! 个! ! 个 ! 个%
如果不是经过推理与计算， 以上等式真令人难
以置信以上各式中， 左边是那么复杂的结构， 右边
竟如此简单， 如同魔术师在变戏法只不过变戏法是
假的， 而数学的推理、 变形与运算是不容置疑的这
是数学的奇妙之处
自从有文明史以来， 人们就为追求真、 善、 美进
行着不屈不挠、 前仆后继的努力， 揭示了许多客观事
物的规律和本质但是， 这种认识过程是没有止境
的， 原来的问题已经解决， 新的问题又会提出有些
问题， 还一直悬而未决
古老的圆的周长公式 !， 至少已提出了
’’年’’’年前， 人类采用了作为圆周率的近似
值， !的有效数字仅为 !大约在公元前’’ 年， 巴
比伦人认为!%!
(
%!)公元 )世纪， 我国南北
朝时期的大数学家祖冲之算出了圆周率的前 ( 位数
字， 给出
%!!)+ ,!, %!!)-，是当时最精确的圆周率， 并保持世界纪录’ 多年，他还选用两个简单的分数近似地表示!， 约率是
-
， 密率是%))!!%
’’年过去了， 上个世纪末， 有人将!的精确
值提高到了 ! 亿位数字， 到 !) 年最高纪录是
+， ， )’， %(位!到底是什么？有什么规律？这些问题至今仍
然是个谜! !数学， 无穷的美， 奇妙无比， 它的理论与实践如
此多娇， 引无数数学家竞折腰!我们相信， 数学的一
个个难题， 一定会在热爱数学并致力于数学研究的
接班人面前低头， 一个个新的问题也会向人们发起
新的挑战!
三、 勤奋— — —成功的前提
有人问爱因斯坦成功的经验时， 他写下了一个
著名的公式：
! %
代表成功， 代表勤奋， 代表正确的方法， % 是少
说空话!
爱因斯坦把勤奋放在首位!
我们看到的往往是成功的光环， 是果实， 是花
朵， 但光环后面的艰辛、 失败和如何从失败中站起来
是难于看到的!
神童小高斯速算的故事， 几乎家喻户晓!他一生
为数学史册增添了许多光辉的篇章， 他的另一则故
事却反映了他的专心致志!
高斯在妻子临终前， 正专心地埋头研究一个问
题!有人告诉他， 妻子快要咽气了， 高斯头也不抬， 只
是低声咕哝着： “去给她说， 请她等一会， 我马上就好
了!”
古希腊伟大的数学家、 物理学家阿基米德也有
一则动人的故事： 当罗马进犯叙拉古时， 阿基米德运
用机械技术帮助守城， 保卫自己的祖国， 使罗马军损
失惨重!三年后， 罗马军队攻破了城池， 阿基米德正! 潜心钻研着一道数学题， 他拒绝罗马军的命令不愿
离开画着几何图形的沙盘， 并怒斥罗马士兵 “不要踩
坏了我的图形” 而惨遭罗马士兵的杀害!
潜心钻研数论 ! 余年的我国著名数学家陈景
润， 在文化大革命的动荡年代里， 也不放弃对哥德巴
赫猜想的研究!春节， 他把自己反锁在地板破了一个
大洞的只有几平方米大小的房间里， 埋头于数学研
究， 陪伴他的是两麻袋草稿纸!
我们的先辈， 那些著名的科学家们， 在勤奋学
习、 刻苦钻研方面给我们树立了光辉的榜样， 也留下
了宝贵的经验、 教训和谆谆教导!这里不一一列举，在此， 摘抄我国著名数学家王元先生著 《华罗庚》 一
书中的一些关于华罗庚教授的学习精神和方法!
社会上一般人对华罗庚非常崇拜， 再加上一些
浮夸的宣传， 将他说成是个 “天才” !华罗庚虽然聪明
过人， 但却从不提及自己的天分， 他把 “勤奋” 与 “积
累” 作为成功的钥匙， 反复教育青年人!他在一篇题
为 《聪明在于学习， 天才在于积累》 的文章中， 语重心
长地说： “许多有名的科学家和作家， 都是经过很多
次失败， 走过很多弯路才成功的!大家平时看见一个
作家写出一本好小说， 或者看见一个科学家发表几
篇有分量的论文， 便都仰慕不已， 很想自己能够信手
拈来， 便成妙谛， 一觉醒来， 誉满天下!其实， 成功的
论文和作品只不过是作者们整个创作和研究中的极
小部分， 甚至这些作品在数量上还不及失败作品的
十分之一!大家看到的作品只是他成功的作品， 而失
败的作品是不会公开发表的!” “有的同志也许觉得
我在数学方面有什么天才， 其实从我身上是找不到! 这种天才的痕迹的!我读小学时， 因为成绩不好就没
有拿到毕业证书， 只能拿到一张修业证书， 在初中一
年级时， 我的数学也是经常补考才及格的!” “从初中
二年级以后， 就发生了一个根本转变， 这就是我认识
到既然我的资质差些， 就应该多用点时间来学习， 别
人只学一小时， 我就学两个小时， 这样， 我的数学成
绩就不断得到提高!” “并且在基本技巧烂熟以后， 往
往能够一个钟头就看完一篇人家十天半月也解不透
的文章， 所以前一段时间的加倍努力， 在后一段时间
内却收得到预料不到的效果!是的， 聪明在于学习，天才在于积累!”
我国有着五千年的文明史， 在数学方面有许多
影响世界数学发展的成就!解放后， 尤其是改革开放
以来， 我国数学界的成果更是层出不穷!从 ! 年
开始， 我国青少年开始参加国际数学奥林匹克
(%’) 竞赛， 已荣获上百枚奖牌， 几十枚金牌， 多次
获团体总分第一名， 进入中学生国际数学奥林匹克
五强 (中、 俄、 美、 德、 罗) !充分证明炎黄子孙的勤奋
和智慧!
最近， 北京又传来喜讯， )( 年将在北京举行
国际数学家大会 (%) !这是国际数学家大会经历
了整整一世纪之后， 第一次将要在一个发展中国家
召开， 又是本世纪第一次国际数学家大会， 世界数学
史将翻开新的一页!
美籍华人、 著名的微分几何大师陈省身教授曾
无限深情地说： “我们希望在 (! 世纪看到中国成为
数学大国!”
我们相信， 一个数学大国， 一个经济强大的中国! 将在新世纪屹立在世界的东方!
希望寄托在青少年身上!! 第二章 数学概念— — —数学
的源头
数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关
系的思维形式!数学概念是数学知识的细胞， 是数学
思维的基础!
数学公式、 定理和法则都是反映数学对象和数
学概念之间的关系的!只有树立了正确、 明晰的数学
概念， 才能牢固地掌握基础知识与方法， 因此可以
说， 概念是数学发展长河的源头， 是构建数学大厦的
基石!
但是， 不少同学不重视概念的学习， 认为数学概
念抽象， 学起来枯燥乏味； 在学习概念的方法上， 死
记硬背概念的定义， 不认真理解概念的本质属性； 运
用概念时， 不研究概念的适用范围， 对概念和概念之
间的关系混淆不清!例如， 常见以下各种错误：
(! ) !
(这是对负指数的概念不理解， 乱套
有理数乘法法则 “负负得正” ) ；
(不注意 !的条件限制) ；
%’
(
) (将自变量 ) 与其正弦值为
(
混为一谈) ；
连接两点间的线段叫做两点间的距离 (将图形
“线段” 与数量 “距离” 相提并论) !! 不重视概念的学习是十分有害的!要知道， 由于
不理解概念或对概念含混不清， 会导致解题错误或
无法动手解题!例如：
许多高中同学会在如下问题面前束手无策：
问题 !： 讨论函数
! !
的单调性!
问题 ： 讨论函数
% !
! !
的有界性!
这是因为他们没有真正懂得 “单调性” 与 “有界
性” 这两个概念的意义!
又例如：
求过点 (， !) 且在两轴上的截距相等的直线
与两坐标轴围成的三角形的面积!
有的学生这样解答：
依题意， 当 % !时， 直线 % ! % ， 即 %
% ! 与两坐标轴围成的三角形的面积是 !
， 当 %
% !时， 直线 % ! % ! ( % ) ， 即 % 与
两坐标轴围成的三角形面积是 (
! (如图 —!)
图 % !
以上解答， 混淆了 “截距”
与 “距离” 两个不同的概念!
“截距” 可正可负也可为零!于
是直线 % % ! 不合题
意， 应舍去!
怎样才能学好数学概念
呢？一般地说， 应该重视概念
的引入， 定义的形成， 概念的
运用等环节!在深刻理解、 牢固掌握、 灵活运用上下
功夫!! 一、 深刻理解! 要抓住概念的本质属性
“垂线” 的概念， 其本质属性是： !两条直线；
夹角为 ! ! 是否有一条直线处于水平位置则是非本
质属性初学垂线概念的同学， 在解决 “过点 作直
线 的垂线” 的问题时， 习惯图—中 图， 而不习
惯于 、 (%) 图； 有的同学把一条铅垂线称为垂线，这都是未抓住本质属性的原因
图
“等差数列” 的概念， 其本质属性是： !后一项减
去前一项之差为常数； 从第二项开始而常数 (公
差) 是否为零， 是否为 或者别的形式， 如 !， % 等，却是非本质属性； 数列是有限的还是无限的也是非
本质属性掌握了本质属性， 不难判断形如{ %} ，{ !(’ ) +,’ !} ， {-.’’
} (!为常数，
为自然数， % 是虚数单位) 都是等差数列， 前 项和
为(’ 0
%’ 的数列不是等差数列! ! 要仔细剖析概念的定义
定义是表达概念本质属性的语句， 是对概念的
最简捷的描述!除了原始概念以外， 其他概念都要下
定义!
定义中的关键字、 词， 既不能多， 也不能少!
“并集” 的定义是： 由所有属于集合 或属于集
合 的元素所组成的集合， 叫做 、 的并集!其中，“或” 是个关键词， “或” 的含意包括： 属于 而不
属于； 属于 而不属于； 既属于 ， 又属于
!
要学会用自己的语言 (包括图形的、 文字的、符号的) 准确地描述概念
例如， “交集” 的概念可以从三方面描述：
文字表述为： 由所有属于集合 且属于集合
的元素组成的集合称为集合 与集合 的交集；
符号描述为： ! { % 且} ；
图
图形描述如图 —!
值得特别注意的是， 对
概念的描述要准确， 既不能
遗漏本质属性， 又不能重复
嗦!
如， 用 “三条两两相交的
直线组成的图形” ， “首尾相接的三条线段组成的图
形” 描述 “三角形” 的概念都是不准确的， 都遗漏了本
质特征， 正确的定义是 “不在同一条直线上首尾相接
的三条线段组成的图形” !! 又如， 用 “两组对边平行且相等的四边形” 定义
“平行四边形” 又累赘了!! 要明确概念适用的范围
“互余” 是对两个锐角而言， 不能扩展到任意角；
不相交的两条直线叫做平行线是对同一平面内
的直线而言的；
指数函数 !
， 对数函数 ! 都对底数
有如下要求： % 且 !’；
!， ( %!
%
都有!的限制!
应该利用正、 反两方面的例子帮助理解概念
在学习二次三项式时， 提出如下判断题!
在)
+ +，’
+ (， ( +
，
(
)
+ ,，
( - +
中， 哪些是 的二次三项式？哪些不
是 的二次三项式？
在学习直棱柱时提出如下判断题!
以下说法， 正确的有哪一些？
有两个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
() 有两个对角面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
有相邻两个面都是矩形的棱柱是直棱柱；
(-) 有相邻两个侧面都是矩形的棱柱是直棱柱!
以上问题， 有助于对 “二次三项式” 和 “直棱柱”
概念的认识的深刻化和精确化!
运用具体化、 特殊化手段理解概念
以{
} 为载体， 理解等比数列； 用{ 菱形} { 矩! 形} !{ 正方形} 作为巩固交集概念的例题； 用树图去
帮助理解和计算排列数， 用纵横交错的高压线去领
会异面直线的含意!这将有助于使抽象概念具体化，使概念变得看得见， 摸得着!
二、 牢固掌握! 掌握概念的 “变式”
所谓概念的变式是指在不改变概念的本质属性
的前提下， 对非本质属性作一些变化!
例如， “异面直线” 的定义是： 不同在任何一个平
面内的两条直线!这一定义等同于：
“既不相交又不平行的两条直线” ；
“不在同一平面内且不相交的两条直线” ；
“过平面外一点与平面内一点的直线， 和平面内
不经过该点的直线” !
后三者都可视为 “异面直线” 的定义的变式， 掌
握了这些变式， 便于操作， 对迅速作出两条直线是否
为异面直线的判断是有帮助的!
还有一些反向变式， 即与概念的本质矛盾的事
例!例如：
“与曲线只有一个公共点的直线是曲线的切
线” ， 对吗？
“判断下列函数是奇函数， 还是偶函数？还是二
者兼是？还是二者均不是？ ”
! ! % ! !
!( ( % ! % ) !! (!) !
! ( %， %]
(%) ! )
() !
+ ( ,-
+ .( . ,-
诸如以上两例辨析题， 有利于驱除头脑中的错
误认识， 净化科学概念! 通过概念的分类， 掌握概念之间的关系
例如：
两条直线
无公共点 异面直线
{平行直线 { } 有惟一公共点： 相交直线
共面直线
复数
实数
有理数
(分数)
正有理数
零
负 { 有理数
无理数 正无理数
{
{
负无理数 {虚数
借助关系图， 掌握概念的联系与区别， 分清
概念之间的关系
(概念之间的关系包括同一关系、 属种关系、 交
叉关系、 对立关系、 矛盾关系等) 例如：
图 % 图 ! !图 !
图 !—中!—四棱柱， —直四棱柱，—平行六面体， —直平行六
面体， %—长方体， —正方体，’—正四棱柱(
三、 灵活运用
概念是判断、 推理、 论证的基础， 只有准确地理
解概念， 才能正确地思维， 同时， 运用概念的过程， 也
是对概念的认识不断地深化的过程， 因此， 要重视对
概念的灵活运用(! 直接运用概念解题
)%
+!,
与
%
+%
是同类项， 求 , 之
值；
若 ) ) (是方程 %) ! ))!
!- 的解， 求方程
(- ) ) (- ) 的解；
求证等腰三角形两腰上的高相等(
以上问题， 首先应该明确 “同类项” “方程的解”
“等腰三角形” “腰” “高” 等一系列概念， 然后才能动
手解题(
例 ! 奇函数 . 在定义域 ( ， ) 内是减函
数， 且 . ( -) . ( -!)+ . () ， 求实数 - 的取值
范围(
分析与解 问题至少包含 “奇函数” 、 “定义域” 、“减函数” 等重要数学概念(! ! ! 的定义域是 ( ， ) ，
% % ， %
%
{
解得 ! % % ( !! ! 是奇函数， ! ( ) (， 且 ! (’
) ) ! ( ) ! ! ( ) ! ( ) % ! ( ， ! ( ) % ! ( ) ) ! (’
) ! ! 在 ( ， ) 是减函数 ( %
% ) ，
， 解得 % %
由!， 可知， % % (
可以看到， 整个解题过程中， 几乎全是运用函数
的奇偶性、 定义域、 减函数的概念进行推理可以说，离开了概念， 就无法推理! 灵活运用概念解题
例 ! 解关于 ， %， 的方程组
%
+) (， % ’
+) (， (% (
(
+) (
{
(，， ( 是互不相等的实数)
分析与解 这是 ， %， 的三元一次方程组， 同
学们当然会解， 但是由于是字母系数， 运算量不会
小如果将 ，， ( 看作一元三次方程)
+
)
%) ) (
的三个根 ， 则利用韦达定理， 即可得到
( ) ，’ ( ( ) %，’( )
{
所以， 原方程组的解为! ! ! ，% ! ， ! ( ) {
注 把解三元一次方程组的问题转化为关于一
元三次方程根与系数的关系问题， 若无对方程的根 ! 的概念的深刻理解， 是难于解得如此轻松的’
例 ! 已知等差数列前 % 项之和为 %%， 前 %%
项和为 %， 求前 %项之和’
分析 数列的前 ( 项和)( ! (
( 是该数列
成等差数列的一个充要条件， 或者说， 是等差数列概
念的一个变式， 于是， 问题等价于：
已知 )( ! (
(， ( ! % 时， )( ! %%， ( ! %%
时， )( ! %， 求 ( ! %时 )( 之值’! 反复运用数学概念
对一个概念的正确理解， 不是一朝一夕就可以
完成的， 更不能仅通过背诵其定义来实现’随着知识
的增长， 理解越来越深入， 应用越来越广泛， 认识也
会越来越完善’
例如初一学习的 “绝对值” 的概念， 是中学代数
中应用十分广泛的概念， 在学习的不同阶段应该有
不同的要求’
我们知道，’ !
( ( %) ，% ( ! %) ， ( ) %) {
对不同年段的同学， 应该完成以下不同的问题：
化简 !’；! (!) !
!
时， % !! ；! ( ! (时， ! % ! ) ! % ；
() 若 % ) ) + ,， 求
的值；
(+) 若 ! ( ,， 且 !
!， 求 !
的值；
(-) 求 % ) % ! ) % 的最小值；
(.) 化简 ! ! + % + ；
() 作 ) 的图象；
(0) 说出函数 !
的图象与 !
， ! %
的图象的联系与区别；
(,) 求函数 ) ) ! % 的单调区间；
若函数
%
%
的图象与函数 %
的图象无交点， 求 % 的范围；
(’) 若 % 123 123
!
% 451
!
， 求 的取值
范围；
() 解不等式： !
% ) ) ! ( +；
(+) 证明不等式：! ) ) ) !’
) ! ) ) !’
( ，其中， ! ( ， ( ， ( ；
(-) 求满足不等式 %
(! ) ) !! (! ) ) !!
的
值也满足不等式!
% (! ) ) ) ! (’! ) ) , 的! 取值的范围；
(.) 已知数列 !( !
( (( % )! ， ( 657!!(
， 且数列
{’(} 的前 ( 项和为(， 求数列{( } 的前 ( 项和)(；
() 函数 !!) ) (! ,， ( ,) ， 当
[,， ] 时， 恒有 +! !求证： ! ! !!， ! ! !!， ! %! !!%
求! ! ! ! ! ! !的最大值及其取得最大值
时函数 % 的解析式! 第三章 符号语言— — —最简
炼的数学语言
一、 什么是数学语言
语言， 是人类交流的工具!数学需要交流， 当然
也有它的语言!
一般来说， 数学语言有三种形式： 文字语言、 符
号语言和图形语言!同学们从学习数学起就开始和
这些语言打交道!
例如， “等腰三角形两腰上的高相等” ， 这是用文
字语言表述一个数学命题!
图 !
用图形语言表示， 可画为
图 !—!
借助图形语言的帮助， 可
将命题用符号语言表述为：
已知： 在! 中，
， % 于 %，
于!
求证： % !
符号语言是用数学符号连接字母和数的表述方
式!! 二、 符号语言的特征
符号语言具有一般语言的特征， 此外， 它的显著
特征是精确性、 简捷性、 通用性 (统一性、 广泛性) !! 精确性
数学中有许多基本符号， 如：
概念符号： 绝对值号 “! !” 、 正弦函数符号
“ !” 、 幂函数符号 “!” ；
运算符号： 加号 “ % ” 、 减号 “ ” 、 乘号 “ ” 或
“· ” 、 除号 “(” ；
比较符号： 大于号 “ ) ” 、 约等于号 “!” 、 不等于
号 “” 等等， 它们都有确切的含义， 不会产生含糊或
歧义， 不存在模棱两可， 似是而非!
但是， 在一些同学的作业中， 随心所欲， 乱造符
号的现象屡见不鲜!如将 “， %” 写成 “
%” ， 将区间 ( ， % ) 写成 [ ， % ] ， 将 · (
) 写成 · ， 将 +,- ( % .) 写成 +,- % .， 表明其
对数学符号的精确性认识不足， 是一种不严谨的学
习态度! 更有甚者， 会出现 +,- ( % ) +,- %
+,-， +,- +,-·+,-， 0
·1
2
， (!%)
!% 之类的错误!
能否准确地运用数学符号是衡量是否具有数学
素养的第一标志， 希望引起同学们的注意!
简捷性
数学是使用符号最多的学科， 因而， 数学以其简! 捷性著称!采用符号避免了累赘的文字叙述， 使数学
的论述简捷而准确!例如：
“一个数的相反数与它的绝对值的差等于该数
与这个数的绝对值的和的二倍!”
这一段文字有点像绕口令!用符号语言表示为：! ! ( % ) ，简捷而明确!
“’” 的含义用文字语言表述为一大串：
在不小于! !
且不大于!
的范围内正弦值等
于 的一个角!
这些例子充分体现了符号语言的简捷性与优越
性!! 广泛性
各民族有各民族的语言， 而数学语言则是人类
共同的语言， 如同音乐中的五线谱一样!有人推测，如果有外星人， 他们也会明白数学语言!于是有人建
议， 在撒哈拉大沙漠， 挖一个巨大的直角三角形及
%
%
的字样， 灌满石油， 点燃后作为与外星人
交流的方式!可以无愧地说， 数学语言是智慧生物的
共同语言!正如 ,-世纪意大利伟大的物理学家伽利
略所赞美的： “自然界最伟大的书是用数学语言写成
的!”
数学符号语言， 不仅是数学判断、 推理、 运算的
主要形式， 也是其他学科经常采用的表述手段!
运动学三大定律， 用数学符号语言表述为
. %， ( . %
,
，
!
. ； 牛顿的万有引! 力公式表述为 ! !
； 爱因斯坦在他创立的狭
义相对论中提出的著名公式— — —质能关系式： % !
， 等等’
三、 如何提高数学符号语言的
运用能力
由于数学符号语言是对数学概念、 性质、 定理、法则的进一步抽象与概括， 因此学习起来有一定的
困难， 比如， 对符号 ( 、 ( () 的含义不容易不理
解’但是， 数学的推理、 计算是通过符号语言完成的，符号语言既是思维的基础， 又是表述的工具和交流
的手段， 要求我们一定要掌握好符号语言’
怎样培养使用符号语言的能力呢？说来也很简
单， 就是贯穿于教学的每一个环节和中学学习的全
过程’! 加强文字语言与符号语言的转换
能将文字语言翻译成符号语言， 如
不大于： “!” ； 不小于： “” ； ， +， 全为零： “
+
! %” ； ， +， 全不为零： “%” ； ， +， 不
全为零： “
+
%”
又如， “设锐角三角形的内角度数都是正整数，且最小角的度数是最大角的度数的四分之一， 求满
足此条件的所有三角形内角的度数’”
如果设该三角形最小的角为 ) 度， 第二大角的
度数为 ,， 则以上问题应翻译成：! 已知：! ! ! ! %，!!!!，! (，!， 为正整数
{
求： !， ， !
能用文字语言解释符号语言的意义， 例如：
% — — —， % 互为负倒数；
! % — — —， % 互为相反数；
( %) )! (% ) )!( ) )
— — —， %， 两
两相等；
( !) ， 其中， ! [ ， ] — — —在定义域
[ ， ] 上， 函数 是偶函数， 其图象关于 轴对
称
(! ! ) 对 !+ 恒成立— — —’ 是周
期函数， 其周期为 ! 恰当地选择数学符号的形式
也就是说， 对于具体问题， 要善于从几种等价的
符号表示形式中选取最合适的例如，当已知四边形四个内角的度数之比为,-.--(，求各内角的大小时， 设四个内角依次为 ,!， .!， !，(! 比较恰当；
当已知三角形三内角成等差数列时， 设三内角
分别为 ! (， !， ! ! ( 比较恰当；
当四边形四内角度数成等差数列时， 设四内角
的度数分别为 ! ,(， ! (， ! ! (， ! ! ,( 比较恰
当；
用 )) ! ， )) ! ,， )) ! . 为自然数) ， 表示三
个奇数连续比用 )， ) ! )， ) ! 为奇数) ， 要好；! 证明五个连续整数的平方和能被 ! 整除时， 设
这五个连续整数分别为 ! ， ! ， !， ! % ， ! %
(! 为整数) 显得最简捷! 在学习概念的过程中， 打下正确使用数学符
号的基础
许多概念都有符号表示如数列{!} ， 通项公式!， 前 项和 ， 弄清概念的符号表示， 是推理、 计
算、 解答数学问题的基础例如，计算 ! ( % !!!
! % (
)
%! ! ! ( %
(,! % ) -! ! % ) 除去运算符号
“%” 、 “” 、 “. ” 以外， 涉及数学概念的符号有绝对
值、 二次算术根、 三次方根、 零指数、 负指数、 角的余
弦等符号
又如， 设 ! ， ， 01,23
!
% ! %
01,23
% 4 01503’， 求证： 4! %
!
如果不能理解 ! ， 及反正弦、 反余
弦、 反正切等符号的意义， 将会在问题面前一愁莫
展
在学习定理、 公式、 法则的过程中， 逐步树立
使用符号语言的意识
数学定理、 法则通常用文字语言叙述， 而定理的
证明与法则的运用， 又经常是通过符号语言完成的
因此， 做好用文字语言表述的定理和法则向符号语
言的翻译是必不可少的如：! !“同号两数相乘， 积为正数” 翻译成： 若 ! ! ， ! 或 ! ， ， 则 ! ! ；
“长方体一条对角线的长的平方等于一个顶点
上三条棱长的平方和” 翻译为：
% !
%
“正弦定理： 在一个三角形中， 各边和它所对角
的正弦的比相等， 并且都等于外接圆的直径” 翻译
成：!
%
’ %
( % )%! 通过解题， 提高运用符号语言的能力
解题的过程， 是运用符号语言表达解题思路的
过程， 解题活动是建立在各种语言转换的基础上的，提高运用符号的能力， 是提高解题能力的必需%
例 已知 ! % ， 求证：!! !
!
% %
证明 !! !
!
%!! !
!! ! !
!!
! !
%!! !
!
! !
! !
%! ! ! !
% %
注 本问题的解决， 全是符号的变换%
例 已知焦点在 轴上的椭圆 ( 的中心为
+ (
,
， ) ， 其长轴长为 +， 短轴长为 ， 如果 ( 上
有四个不同的点到点 ( ,
， ) 的距离都各自等于它
们到直线 ： % ,,
(, ! ) 的距离， 求 , 的取值范
围%! 分析与解 对这类范围题， 许多学生常常望而
生畏!原因之一是题目表述冗长， 二是有参数， 三是
需要根据椭圆具备的特性去探求参数取值的范围!
让我们对条件进行剖析!
首先， 由 “焦点在 轴上， 中心为 (!
!
， ) ，长轴长为 ， 短轴长为 !” 可写出椭圆 % 的方程为：
[ % (!
!) ] !
!
， 并可推知， 点 ( !
， ) 是椭
圆的左顶点!
其次， 到点 ( !
， ) 与直线 (： %
!
( ( )
有等距离的点的轨迹是以 为焦点， 以 ( 为准线的
抛物线)， 其方程为 !
! !
第三， “% 上有四个不同的点到点’ ( !
， ) 的距
离都各自等于它们到直线 (： %
!
的距离” 说明：
有四个不同的点， 同时在椭圆 % 和抛物线) 上!
于是原问题可转化为较为简明的问题：
“当椭圆 %：
[ % (!
!) ] !
!
与抛物线)： !
! 有四个不同的交点时， 求 的范围!”
观察方程的特点可知， 曲线 % 与) 都关于 轴
对称， 则它们的四个不同的交点具有两个不同的横
坐标值， 于是
由
[ % (!
!) ] !
!
，!
!
{
消去， 整理得! !!
( %) !
!
%
! (! ()(!)
于是， 问题转化为 有两个不等的正根 ) 继续往
下走就容易了
% (，!
%
! (，! ( %) !
% ( !
%
!) (
?
?
解得： + +
%
! 通过阅读， 掌握利用符号语言的表述能力
数学阅读是在文字阅读的基础上， 通过对数学
语言 (图形、 符号、 文字) 的感知与认识， 对新概念的
同化与顺应， 对阅读材料的理解与记忆等各种心理
活动的过程， 是一个不断地判断、 推理、 想像、 计算、猜想和归纳的认知过程， 在阅读数学书籍过程中， 读
者必须首先对有关的数学术语和数学符号有清楚的
认识和理解因此， 阅读对提高数学语言特别是符号
语言的运用能力是十分有益的
() 由于数学语言的抽象性， 使数学阅读比文学
阅读更困难， 因此， 开始阅读的方式不宜采用浏览或
快速阅读， 而应该是一个集理解、 记忆、 推理、 计算为
一体的读、 想、 写结合的过程， 必须对每一个概念、 数
学符号与术语的精确含义要仔细琢磨， 对定理、 公式
的来龙去脉要认真掌握， 对定理、 法则的运用要深入
领会
由于数学教材的约简和数学符号语言的简
捷性， 在阅读时， 常常会遇到一些沟沟坎坎， 由上一! 步到下一步的跨步很大!这时， 读者必须动手演算和
推理， 平坎填沟， 变天堑为通途!这便给读者提出了
使用数学符号语言的要求!
由于数学的严谨性， 数学教材和一些良好的
辅助读物必是语言规范、 言必有据， 读者在阅读中必
然受到阅读材料的感染!只要读者在阅读时留心、 多
思， 一定会克服诸如 ；
% ； 若 % ， 则
% ( 等语病!
由于数学语言的多样性 (文字、 符号、 图形) ，数学书籍的语意转换频繁， 要求阅读者适应这些语
言的转换!而数学的推理与判断多半是以符号语言
实现的， 所以， 对符号语言的掌握与运用要求更高，定将促使我们掌握和运用数学语言的能力!! 第四章 公 式、 定 理、 法 则
— — —解决数学问题
的工具
定理、 公式、 法则是建造数学大厦的钢筋铁骨，它们揭示了数学概念之间， 数量关系与空间形式的
规律， 是解数学题的工具!
中学阶段学习的数学公式、 定理、 法则不下千
条， 要用好这些公式和定理， 并不是一件简单的事
情， 如同一个巨大的工具箱中， 有形式不同， 用途各
异的工具， 只有掌握了各种工具的结构、 性能、 用途
和用法， 并经过反复实际操作， 才能运用自如， 得心
应手!
怎样才能学好、 用好公式、 定理和法则呢？
一、 贵在理解! 分清条件和结论
一般来说， 定理的结构分为 “题设” 和 “结论” 两
部分， 在理解定理时， 应该注意： 不能把题设和结
论混淆； 不能遗漏或偷换题设中的本质条件!
例 ! 定理 “凡直角都相等” 的题设是： 有两! 个角； 这两个角都是直角!结论是这两个角相等!
不可更换结论和条件而表述成 “若两个角彼此相等，那么它们都是直角!”
例! 定理 “两边对应相等的两个三角形中， 夹
角大则第三边大” ! (图 —)
定理的题设条件是：
图
图 !
两个三角形! 与!%%%；
% %%；
% %%；
%%% !
定理的结论是 %% !
条件中的四项， 缺一不可， 否则， 得不出
%%的结论!
例 三垂线定理： 在平面内的一条直线， 如果
和这个平面的一条斜线的射影垂直， 那么它也和这
条斜线垂直 (图 —!) !
三垂线定理题设的条件
是：
有三条直线 、 %、，一个平面!；
%是 在!内的射影；
!；! (!) !!
结论是： !!
如果遗漏了四个条件之一或者忽视了本质条件
而套用定理， 就会发生错误
如忽视条件 !!， 则 ! 可以在平面!外， 除
去 !!的情形， 其他是不能得到结论 !! 的， 这
是初学者易犯的错误之一! 注意应用范围
许多公式、 定理和法则是在一定条件下才能成
立的如 “等弦对等弧， 大弦对大弧” 是在同圆或等圆
中才能成立； “等角对等边， 大角对大边” 是对同一个
三角形而言； 等比数列前 % 项和的公式 % ! ( %%)
%
的前提是’； 两直线的夹角公式( !
( %
(
有 ( % 的限制
不注意范围， 盲目套用公式或法则， 会引起许多
失误例如：
由 !) 得到)
!；
由 !) + 得到) +
!；
解方程 ,- )
) .) % ,- ) 得
,-))
) .)
,- ， 得))
) .)
，解得 ) % )或 ) ；
认为 “两条边分别相等的两个直角三角形全
等”
以上错误都是由于忽视使用范围或者限制条件! 所致， 分别应作如下改正： !!； ! ； (%) 应
考虑
!! 且 ! ； ( 改 “分别” 为 “对
应” 相等
值得特别注意的是， 由于研究范围的扩充， 原来
的定理、 法则和公式不一定仍然成立
例如， 平面几何中的定理： “同垂直于一条直线
的两条直线平行” ； “若两角的两边互相垂直， 则这两
个角相等或互补” 在立体几何中就不正确而在实数
范围内的正确命题， 如 “若) ) !， 则 + !” ； “若!
， 则 ! ” ； “若) )!， 则 , !!” 等等， 则不能照搬到复数范围内! 剖析关键字词
数学的定理、 公式与法则都是由数学中的专门
术语和符号组成， 在学习和使用定理、 公式和法则
时， 一定要认真推敲， 规范使用， 对关键性的字、 词，要仔细剖析， 常常要咬文嚼字， 不可含糊其辞， 更不
能粗制滥造
要正确理解数学术语和数学符号的意义例
如，“点 % 在直线 上 ” 是 “直线 通过点%” 之意， 不
能理解为 “点 % 在直线 上方 ”
“两条相交直线确定 一个平面” 中的 “确定” 一词
的含义是 “有且只有” ， 即具有 “存在性” 与 “惟一性”
[!， ] 等价于 !， 不能用 在 !， 之 间 代替， (!， ) 即 ! - - ， 叫不叫 在 !， 之
间呢？ “在…之间” 的说法含糊不清
要仔细阅读! 有下列判断题：!等腰三角形角的平分线就是它的对称轴；
有一个锐角和一条直角边相等的两个三角形
全等；
根据勾股定理可以判定边长分别为 !， ，
的三角形是直角三角形；
三点可以确定一个圆!
有的学生认为以上四句话都是对的!其实， 恰恰
相反， 以上四个判断都是错的， 犯错误的同学肯定在
学习中有粗枝大叶的毛病， 忽视了一些关键的字!如!要改为： 等腰三角形顶角 !的平分线所在的直线 !!!!!， 就
是它的对称轴 !； 中的对应 !!相等； 中的勾股定理的
逆定理 !!!； 中的不在一条直线上的 !!!!!!!!三点!
要准确地回答问题
只有准确地回答问题， 才能正确地表达思维!有
的同学回答问题时用词不准确， 词不达意， 造成错
误!
问： “若 % ， 则 % 且 % ” 是真命题吗？
正确答案应该是 “不是” ， 可有的同学回答 “不一定” !
他们不懂得， 命题只有真、 假之分， 没有 “既真又假”
的命题!
问： “若 % ， 可能有 % ， % 吗？ ” 可能有
同学会答： “不可能” ， 与正确答案 “可能” 仅仅一字之
差!
问： “设 为复数!则’
(
对吗？为什么？ ”
有以下两种回答： 一是不对， 因为’
是实数， 而
是复数； 二是不一定对， 因为 是实数时，
(
，
是虚数时，
!其实， 这两种回答都错了， 先分! 析第一种回答的错误!虽然， ! !
是实数，
是复数
的说法不错， 但由此否定 ! !
， 理由是不充分
的!因为
是复数， 也包括实数在内， ! !
仍然
可以成立!第二种回答虽然指出了使! !
成立
的条件， 但作为对一个命题是否正确的判断， 只能用
“是” 和 “否” 而不能用 “不一定” (既是又否) !正确的
回答是： 不对!例如! !
!
!
要规范地表述， 否则， 会造成含糊不清或逻
辑混乱!
我们常常会碰到如下一些语病： 直线过平面； 连
接点 到 %； 作点 % 到直线 的距离； 缩小 % 倍； 提
出一个负号； 开根号；
(
在坐标平面上表示
一个圆； 两底角相等的三角形是等腰三角形； 若斜边
上的中线等于斜边的一半， 那么这个三角形是直角
三角形等等 (请读者找出语病并纠正) !如果在一篇
漂亮的论证中出现如上的一些说法， 就如同在品尝
香喷喷的油炸花生米时吃到了几颗变质的!! 分清结构特征
许多同学怕数学， 原因之一是数学公式难记!
数学公式多， 难记， 这是事实， 但记忆数学公式
不能靠死记硬背!通过应用， 自然记忆是主要途径，分清公式的结构特征， 是加强记忆的重要方法!
例如， 诱导公式， 即表示以下各种角度与角!
的三角函数间的关系!
第一组： (!、 (!、 !、 (!、 !；
第二组：
(!、
!、%
(!、%
!!
诱导公式共有) + , (个) ， 机械背诵， 实属困! 难!观察其结构特点， 可概括为： ! ! (!) 、、 !%、 !!的三角函数值， 等于的同名函
数， 前面加上一个把看成锐角时原函数的符号；!!
%， !!
%的三角函数值， 等于的余函数， 前
面加上一个把看作锐角时原函数值的符号!
进一步观察与归纳， 角度 ·!!
(!) 的三
角函数值， 当 为奇数时， 等于的余函数， 当 为
偶数时， 等于的同名函数， 再加上一个把看成
锐角时原函数的符号!
以上规律可概括为： 奇余偶同、 象限定号!
(个公式， 浓缩成八个字， 容易记忆， 方便运
用!
比较而言， 三角中 “和、 差、 倍、 半、 和差化积、 积
化和差” 公式更难记忆， 容易混淆!观察公式的结构
特征， 抓住公式间的联系与区别显得更为重要!例如) , )
!
其特征有：
(-) 右边两项函数名称均为 ) ；
两项中间以 “” 联结；
系数与指数的数值依次为 ， -， (， !
.) , (.)
.)
其特征有：
(-) 右边两项函数名称均为 .) ；
两项中间以 “” 联结；
系数与指数的数值依次为 (， ， ， -!
在两个公式的特征里， (-) 、 两条不易出错， 常爱
混淆的是第 条!如果多念上几次 “， -， (， ； (， ，! !!， ” ， 就容易铭记于心了!
二、 牢固掌握! 掌握公式、 定理、 法则的推导与证明
不能仅仅满足于记住定理、 公式与法则， 而且应
该掌握它们的来龙去脉!
要了解引入定理、 公式、 法则的背景!!发现式引入!如由三角形内角和为 ， 可以
发现四边形， 五边形， …， 边形内角和公式； 通过具
体问题的计算结果发现交换律 % % % % ， %
%， 结合律 ( % %) % % (% % ) ， (%) (%) ，分配律 ( % %) % %， 有助于培养观察、 发现、归纳、 猜想等能力!
联想式引入!如在直角三角形中， 三边长满足
勾股定理， 那么， 锐角三角形和钝角三角形三边长又
应该满足什么样的关系呢？由分数的约分与通分，联想分式的约分与通分； 由分数的加、 减、 乘、 除四则
运算联想分式的加、 减、 乘、 除四则运算!通过联想引
入新的定理、 公式与法则有助于旧知识的拓展与发
展， 有助于培养由旧知识向新知识迁移的能力!
探索式引入!如以 ， % 代入 ( % %)
和
% %’
发现， ( % %)!’
% %’
， 从而激发自己探
索 ( % %)
的展开式是什么!以! ! ， ( 代入) (!%) 和 ) !% ) 可以看到 ) (!%) !) !
% ) ， 自己提出如何用!， 的三角函数表示 ) (!
%) 的问题!从而培养自己善于提出问题， 探索新! 规律的能力!
要掌握定理、 公式的证明及推导方法!
定理、 公式、 法则是历代数学家智慧的结晶， 是
先辈留下的宝贵知识遗产!我们要继承的不仅仅是
它的结论， 更重要的是研究的方法!!借鉴方法!课本上定理的证明， 公式的推导方
法， 都十分简明， 许多思想和方法具有普遍意义!
因式分解和推导一元二次方程求根公式采用配
方法； 推证直线和平面平行的判定定理采用反证法；
证明余弦定理， 两角和的余弦公式引入坐标法； 证明
勾股定理、 正弦定理是应用面积法； 推导等比数列前
项和公式采用的是 “错位相减法” ， 推证三棱锥体
积公式巧用 “割补法” 等等!这些方法都是数学解题
中常用的， 同学们应该从中学习数学思维方法， 提高
思维能力!
克服遗忘!人的记忆力是有限的， 遗忘是正常
现象!如何克服遗忘呢？有些同学依赖书本， 离了书
本就束手无策， 这不是好办法!就算有现成书本可以
翻阅， 但是当你独立承担一项工作， 而又无成法可
依， 又怎么办呢？所以， 单纯依赖书本并非上策!掌
握定理、 公式、 法则的推导与证明过程， 是克服遗忘
的好方法!例如：
忘记了 % ! % !’ (%!右边的结构， 可变
为两角和的正弦 % ! (! !)!) 推出；
万能公式 !!!!
, ) ! !!
， -. !
, ! !!
, ) ! !!
，! ! !
%!!
%
!% !
%
容易记错和混淆， 当你记错或混淆
之时， 采用如下的推导是不费力的!
! %!
%
(!
%
%!!
%
·(
% !
%
%!!
%
(,% !
%
%!!
%
- !% !
%；
( ! %(
% !
%
%
(,% !
%
%
- !% !
%
!% !
%
- !% !
%；! !
!
( !
%!!
%
!% !
%!! 掌握公式的变形
同学们习惯于正用公式， 也就是按公式书写的
形式从左到右应用， 而逆用， 尤其是变形用公式就不
习惯了， 这是对公式掌握得不好的表现， 是不利于解
题能力的提高的!
仍以公式 . ! . !’ .!为例!
正用是化三倍角正弦为单角的正弦； 逆用则将
复杂的多项式变为形式简单的单项式 (化差为积) ；
还可以变形为 .!
. !’ . !
， 则可用作降次! (化积为差) !! 形成完整的知识结构
平常的课堂学习， 是一节一节、 一个问题一个问
题的学习， 不免有些支离破碎， 如果经过一段时间的
学习 (如一单元、 一章、 半学期、 一学期) 以后进行系
统的复习， 不仅有利于克服遗忘， 而且， 对弄清定理、公式与法则的来龙去脉， 地位作用， 掌握知识的纵横
联系， 形成知识网络， 促进思维能力的提高是大有好
处的!
在复习时， 要注意采用以下几种方法!
列表图示法!
现行中学数学教科书比较注意用这种方法， 在
每一章后面的小结中， 常常采用列表和图示法， 以帮
助读者掌握知识结构!如：
二次函数、 一元二次方程、 一元二次不等式三者
相互关系表；
正弦、 余弦、 正切、 余切函数的主要性质归纳表；
和、 差、 倍、 半、 和差化积、 积化和差公式内在联
系及推导线索表!
对比法!
对相近或对立的知识进行对比， 容易把握特征，找出差异!
把指数运算法则和对数运算法则对比；
把指数函数与对数函数的性质对比；
把正弦、 余弦、 正切、 余切函数的主要性质对比；
把反正弦、 反余弦、 反正切、 反余切函数的图象
与性质对比；! 把椭圆、 双曲线、 抛物线的概念与性质对比!
类比法!
“类比” 是根据两个或两类对象有部分属性相
同， 从而推出其他属性也相同的推理!
类比是认识新事物的一种思维方法， 是提高思
维效率、 形成创造性思维能力的一种必要手段!
在学习分式时， 当我们看到分式与分数有某些
共同之处， 如分母为零时， 无意义； 分子为零且分母
不为零时， 其值为零； 分子、 分母同时乘以 (或除以)
非零的数 (整式) 时， 其值不变， 就可以通过类比， 想
到分式具有与分数类似的变形和运算法则：
可以 “约分” ：
；
可以 “通分” ：
，%
变为
， %
；
乘法法则：
·%
%
；
除法法则：
%
·
%
%；
加减法法则：
%
%
；
%
%
%
!
通过类比， 使分式的学习变得快捷得多!
类似的例子还有：
因数分解与因式分解的类比；
圆柱、 圆锥、 圆台与棱柱、 棱锥、 棱台的性质、 面
积与体积计算公式的类比；
等比数列与等差数列的类比，让我们看一个具体例子!
三角形的面积公式 “’
%
底边长 高” 与三! 棱锥的体积公式 “! !
底面积 高” 的形式类
似， 不仅如此， 推证方法也很类似 (图 %—)
!% !
·(’ !!) % !
!% ·(
图 %
将三角形通过补形为平行四边形， 利用已知的
平行四边形面积(’， 而
!% ! !)， !% !
(’；
类似地想到， 三棱锥通过补形成等底等高的三
棱柱利用已知的三棱柱的体积公式 !%·(， 而!) % ! ! %) ! !+ )得!) % !
!% ·(
应该注意的是， 用类比推理得到的结果， 不一定
全部正确， 应去伪存真， 求同存异
平面几何与立体几何可以类比， 平面几何的有
些定理， 在立体几何中仍然成立， 如：
同平行于一条直线的两条直线彼此平行；
两个角的两边分别平行， 则这两个角相等或互
补
但有些定理则不能照搬， 如：
同垂直于一条直线的两条直线彼此平行；
过一点有且只有一条直线垂直于已知直线! 还有， 如果将立体几何中的某些 “平面” 类比平
面几何的 “直线” ， 则问题变得比较复杂， 如下表：
已
知
元
素
位 置 关 系
已知条件
两条不重
合的直线
一个平面
与平面外
的一条直
线
两个不重
合的平面
平行于同一条直线 平行 平行 位置
不确定
平行于同一个平面 位置
不确定 平行 平行
垂直于同一条直线 位置
不确定 平行 平行
垂直于同一个平面 平行 平行 位置
不确定
特殊化与一般化!
随着年龄的增长， 年级的升高， 我们掌握的知识
就越来越多!如果在不断学习的过程中， 你经常有这
样一种体会： “原来我以前所学的知识只是现在所学
知识的一种特殊情况” ， 似乎有 “一览众山小” 的感
受， 那么， 你明白了， 你掌握了， 你学通了!如：
勾股定理是余弦定理的特殊情形；
诱导公式是和角公式的特例；
正比例函数， 反比例函数， 二次函数
分别
是幂函数 ! 中!取 ， % ， 的情形；
数列可看作自变量取正整数集 (或其子集) 的函
数；
等差数列、 等比数列、 常数列都隶属于一阶线性
递推数列 % % % ! 时是等差数列， ，! !!!时是等比数列， ! !时是常数列
你应学会给自己提出如下一些推广性的， 一般
化的问题研究与思考：
学了三角形内角和为 ! ， 提出： “四边形， 五边
形， …， 边形的内角和为多少度？ ”
学了圆周角的大小等于它所对弧度数之半， 提
出： “如果角的顶点在圆内 (圆内角) ， 顶点在圆外 (圆
外角) 的大小能否通过有关弧的度数量度？ ”
学了公式 (% % )
%
% %
， 提出： “ (% %
) (
， (% % ) )…应等于多少？ ”
学习了虚数的性质： 如果 ， 那么
)
，)
+ ，) (
+，)
以后， 提出： “若 ,， 以上性质仍能成立吗？ ”
三、 重在运用
理解和掌握了定理、 公式与法则， 如同有了好的
弓箭， 只有通过训练和实践， 才能提高技艺! 提高辨别等效性的能力
全等三角形的判别方法中， “(” 与 “(” 等
效， 而 “))(” 与 “)” 不等效；
等式 %(
(
(% ) (
+ (% (% ) 与公式 (%
) (
%(
(%
(%
(
等效；
判定奇函数的方法： 对定义域内的任意自变量
， 都有 “+ () + + (+ ) ” 与 “+ ()’ + ( + ) !” 或
“ + ()
+ (+ ) + (!!) 且 + !” 或 “+ () 的图象关
于原点对称” 等效! 掌握公式、 定理、 法则的等效形式， 是从深层次
上理解的结果!给定理、 公式、 法则的运用带来方便，有助于提高解题能力!! 提高灵活运用能力
应用公式与法则解题的时候， 不少同学习惯于
按照公式与法则推出的顺序运用!如学习了公式 (! )
!
以后， 要求会用公式展开 ( !
%
)
， 不会有多大的困难， 但对将 !
%
%
%’
写
成 ( !
%
)
则迷惑不解， 表明逆用公式的能力差!
为了提高解题能力， 我们不仅要学会正向运用公式，还要会逆用公式， 变形用公式!
例如， 公式 ( ( )
(
的一些变
形： ( )
( ! )
， ( ! )
( ) !
， ( ) ! ( ! )
， 这些变形形式在代数
式的求值、 化简和等式的证明中会常常用到!略举两
例：
(%) 在解析几何弦长公式的变形中： ) %% ! % )) , !) (%% %) ! %% % ! ) , !)；
在高二代数不等式的学习中， 课本上一道很
重要的例题的证明：
已知 %， - ， % ， % (， 求证：!如果 ( 是定值， 那么当且仅当 % 时， 的
值最小；
如果 是定值， 那么当且仅当 % 时， ( 最
大!
观察 (% ) ! (% ! )
%， 以上命题的正确! 性则一目了然!! 反复运用， 不断巩固
人们认识事物， 总是遵循实践、 认识、 再实践、 再
认识的过程， 这种过程， 不是简单的重复， 而是呈螺
旋式上升， 逐渐提高到新的层次!
数学学习也是一样， 对公式、 定理、 法则的理解
和掌握， 不可能一次完成， 而应该在后续学习中充实
与提高!
例如， 勾股定理是平面几何最基本和最重要的
定理之一， 在初中二年级学习以后， 除在平面几何中
反复运用以外， 在高中数学中会多次用到!如证明函
数与反函数的图象的对称性， 建立三角函数的定义，余弦定理的推导， 有关多面体与旋转体的表面积与
体积的计算， 平面上两点间距离公式的推证， 弦长公
式、 极坐标与直角坐标的互化， 复数的向量表示等等
都多次反复地运用勾股定理!! 第五章 数学方法— — —数学
解题的杠杆
解数学题离不了方法!
在中学数学中， 涉及的数学方法很多， 数以百
计， 大体上可分为三类!第一类是思想方法， 如模型
法、 分类讨论法、 等价转换法、 映射法等等； 第二类是
逻辑方法， 如分析法、 综合法、 归纳法、 演绎法、 类比
法、 反证法等等； 第三类是数学方法， 如代入法、 求差
法、 换元法、 配方法、 裂项求和法、 因式分解法等等!
前两类方法不是数学特有的， 但第三类方法则是数
学的专利!
在第三类方法中， 有些是局部的方法， 即适用的
范围比较狭窄， 如作图中的三角形奠基法、 交轨法、位似法； 数列求和中的裂项求和法、 错位相减法、 求
轨迹方程中的直接法、 相关点法、 参数法等等， 有些
是全局性的方法， 应用范围广泛， 涉及的知识点多!
数学方法， 是中学数学教学大纲对数学教学的
基本要求之一， 是解数学题的有力杠杆， 在数学教科
书上， 很少提及用什么方法解题， 这是因为教科书是
以基础知识为主线编写， 同时也避免了束缚学生的
思想!
数学方法寓于定理的证明、 公式、 法则的推导及
例题的解答过程之中， 没有脱离数学基础知识的数! !学方法!因此， 同学们应重视从基础知识的学习中领
会和提炼， 在习题的解答中总结和归纳!许多辅助阅
读材料是以方法为主线编写， 有利于同学们吃透数
学方法的精神实质， 掌握操作程序!
以下分节对四种用途非常广泛的数学方法进行
介绍!
第一节 配方法
一、 什么是配方法
让我们先看一道数学题!
当 ， 为何值时， 方程 !
! ( ) (!
% %!
!) 有实根？
这是 年全国初中数学竞赛的一道试题!
许多参赛选手这样入手： 由! (! !) !
+ % (!
% %!
!) !’，即 + )!
+ ,!
+ , ) + %!’!
往下， 许多人束手无策!但有些学生对 采取
了如下变形：!!
%!
% + ! ，即 ( !) !
( + ) !
!
当且仅当 + ， ! 同时成
立， 即 且 +
!
时原方程有实数根!
还有的学生一开始就对原方程作如下变形：
[!
! ( ) ( ) !
](!
% %!)
[!!
! + ( ) !
] ，即 ( ) !
( !) !
( + ) !
!! 因此，! ! ，! % ， % % !
{ !! ， !
， !
{
故当 ! ， !
时， 原方程有实根 !
以上解题的成功， 归功于 “配方”
什么是 “配方” ？那就是将代数式或它的一部分
写成!
! %
(! )
的形式
通过配方， 利用其特殊性解决问题的方法是配
方法
配方的主要方式有：
配常数项： !
! (! ) !
配一次项： !
%
(! )
!
二、 应用举例
配方法的应用十分广泛， 几乎涉及到中学数学
各章内容
例! 已知 ! % ， % ， %
% ， 求 !
%
% %
! ! ! % ! !% 之值
解 由条件易知： ! ! ! ， ! % ! ， % ! !
所以!
%
% %
! ! ! % ! !%
[ (! ! )
% ( ! %)
% (% ! !)
]
[ (! )
% (! )
%
] (! 例 ! 已知 !!
， 求证： 方程
(! % ) !
! ( % ) ( % !)
的两根相等%
证明 因为 !!
， 所以 ! ! ! %
在 中，! [! ( % ) ] !
% (! % ) · ( % !)
!!
!
% !!!
!!!
%!! !!
!
!
%
!!
!!
!
!!!
!
!
!!!
%!! %!!
(! ! % !) !
(! % !) !
%
故原方程有两个相等的实根%
例 求多项式 !!
% (! )!!
% %!
!的最小值%
解 因为 ( %!) !
( % !
(! % !) !
+,!，所以， 当且仅当 (， ! !时，-. +,!%
例 求满足不等式
!
!!
!
,! ,! !
的整数 ， !， %
解 将原不等式经过配方， 变形为
( %
!!) !
,’
(! % !) !
( % ) !
因为 ， !， 0，所以 当且仅当 %
!! ! % ! % 时成
立 1! 故 ! ! ， ! ， !
例! 求方程 %
%% % % ! 表示圆
的条件 (
解 将原方程配方， 变形为
(% %)
( % ) !
因为
! (’
)
)
，故原方程表示圆的条件是!+
例 已知 , % , !， -.% -. !)
-. (% ) ， 试求 %， 的值
解 0 -.% -. !)
-. (% ) ，1 -.
%
-.
% %
!)
-.
%
% ，1 -.
%
-.
% %
! -.
%
，-.
%
% -.
%
-.
% %
-.
% %
23 % %
!，1 (-.
%
%
-.
% %
)
23 % %
!
1
-.
%
%
-.
% %
!，23 % %
!，’ , % , !
{
故 % ! ! !)
或 % ! !
4!)
! 第二节 换元法
一、 什么是换元法
同学们一定知道曹冲称象的故事!
三国时期， 有人给曹操送了一头大象!曹操很高
兴， 带着儿子曹冲和官员们去看大象!
大象又高又大， 身子像一堵墙， 腿像四根柱子!
大家一边看一边议论： “这么大的象， 到底有多重
呢？ ”
曹操问大家： “谁有办法把这头大象称一称？ ” 官
员们有的说： “得造一杆大秤， 砍一棵大树做秤杆!”
有的说不成， 谁有那么大的力气提得起这杆大秤呢？
也有的说： “办法倒有一个， 就是把大象宰了， 割成一
块一块的再称!” 曹操听了直摇头!
七岁的曹冲站了出来， 说： “我有个办法!把大象
赶到一艘大船上， 看船下沉多少， 就沿着水面， 在船
弦上画一条线， 再把大象赶上岸， 往船上装石头， 装
到船下沉到画线的地方为止!然后， 称一称船上的石
头!石头有多重， 大象就有多重!”
曹操笑了， 周围的人也拍手叫绝!
小曹冲用容易称出的石头的重量代换大象的重
量， 这就是朴素的 “换元” 的思想方法!
例 ! 已知一个六位数!%， 若将此数乘以 ，得到的新数恰好为%!， 求此数!
解 设 %， 则根据题意， 有
(!%
) !’ !，! 解得 ! ! %
故 此数为%
例 ! 求 ( ( ( ! ! ! ……的值
解 设! ! ( ( ! ! ……， 则! ! ( ! !，解得 ! !
注 例是通过设未知数 ! ! %’， 化繁为简，例 是设 ! ! ( ( ( ! ! ! ……， 化无限为有
限， 使问题的解答轻而易举
以上两例都采用了 “换元”
换元法是这样一种方法， 把关于某些数或字母
或者它们的解析式， 用另外的字母或解析式表示， 使
问题获得解决的方法
和配方法一样， 换元的应用也十分广泛， 功能更
强大， 它有着化繁为简， 化难为易， 溶解难点， 缩简思
维等优点
二、 应用举例
例 解方程 )! ! ( )! ! + !
解 设 ( ! )! ! ( ， ) ! )! ! +， 则
))! )，( ) !
{ ，由此方程组解得
(’ ! )，)’
{ !
或 ( ! ，) ! )
{
即! !! ! % !，!! ! { % (
或!! ! % (，!! ! % !
{
解得 !) % ， ! % !+
注 通过换元， 化根式方程为整式方程组， 避免
了通常解无理方程两次 “两边立方” 而产生高次方程
的麻烦
例 ! 分解因式
( %) ( % ) (% ) % (%
) (% ) (% ) ( % ) ( %
) (% )
解 设 ! % %， % % ， % %
， 则! ( ( ) % ( ( ， ( ) %，’ ( ! ) ，! ( ) ,所以， 原式% !’ )
( ) )
(’ !)! )
(! ) !
%)
[ (! ) (! )! (! )!]
%)
[ (! ) (! ) !’ (! ) !
!’
]
%)
(! ) (’ !’ !
)
%)
(! ) ( ) (! )
% (%
注 上述换元可 “以一当多” ， 便于观察， 简化运! 算， 减少出错的可能性， 使解题工作量大大减少!
例 ! 解方程
!
! ! % !
解 移项， 把原方程变为
( ) ( ! ) ! ! !’ %，即 ( ! !)
( ! !) !’ %!
令 % ! !， 则
!’ %(
解得 ) % 或 % (舍去) !
于是 ! ! % ， 解得 % +!
注 换元法使结构变得简洁， 但配方法功不可
没!
例! 求 % ! + ) ! ! 的最大值与最
小值!
解 易知 的取值范围是 +!
设 % + ,-.! (’!
) ， 则
% ,-.! ! !0,! !
% ,-. ! ! !0, !% ,-. (! !) !
当!%
时， 123 % ；
当!%
时， 1-. % )!
注 本例采用了三角代换， 把令人困惑的根式
函数的最值问题转化为思路通畅的三角函数的最值
问题!
掌握如下一些经常用到的三角代换形式是有好
处的!例如：! 若 !!
!
， 则设 ! %’ !， !；
若 !!
!
!
(以下 ， 均为实数) ， 则设 !
%’ !， !；
若 !!
!!!
， 则设 ! %’ !， !， 其中，! ；
若 !!!!
!!!
， 则设 ! %’ !， !，其中 !! ；
若 !!
+ !
， 则设 ! ,% !， -.) !；
若 !!
+ !
!
%则设 !,% !， -.) !， 其中， ；
若 !!
!
!
! ， 则设 ! %’ !， !；
若 !!
! +
!
! ， 则设 ! ,% !， -.) !%
例! 已知正数 ， ， ，， ( 满足以下关系：
， ， ， ( %
试证： ， ， ，， ( 成等比数列%
证明 令
)，则 )， ) )!
， 以此代入 ， 得)!
) %
0 1 2，3 )!
+ ) + 2， 于是 )
) +
%
又由 ， 有 ) ， 于是
) +
)，又由 (， 有 )’ (， 于是
+
%
3
(
)
%
故 ， ， ，， ( 成等比数列%
注 此例的解法中， 辅助变量 ) 成为联系 ， ，! !， ， 的纽带
一般地， 由等比形式给出的条件， 大多可以通过
设公比为 % (或 !
%) 的换元方法， 容易使问题获解
例 ! 已知： ! % ， !
!
% !
求证： (!’! (’ !， ， ， %)
分析 由 !， ， ， % 的对称性知， 只需证明其
中一个属于区间 [(， ] 即可
证明 由!得 ! ) %，令 (
) %
)(
(， ( !， ， ) ， 则)! ) ) (
由得 ! )
% !
(’ ) %
)!)
(’ ) %
))
(’ ) %
))
(’ ) %
)
) %
! ) )) )
! )
)
(’ ) %)
)
! )
)
(’ ) %)
即 )
%’ ) !%
%
故 (!%!
依对称性知： (!’! (’ !， ， )
注 对于 个变量之和为定值的问题， 常以它
们的平均值与一个增量 )’
之和的形式换元注意!
!)’ (， 这是常用的一种均值代换! 第三节 待定系数法
一、 什么是待定系数法
在数学和其他自然科学中， 存在着大量的求未
知数的值， 求未知数的范围或者求几个未知量的关
系的问题!
例如， 物理学中有这样一个简单问题：
一个弹簧， 不挂物体时长 !， 挂上物体后会
伸长， 在弹性限度以内， 弹簧伸长的长度与所挂物体
的重量成正比% 若挂上( 物体后弹簧总长是!%)， 求在弹性范围内弹簧的总长度 与所
挂物体重量 (’ 之间的函数关系式!解答如下：
设弹簧总长 与所挂物体的重量 (’ 之
间的函数关系为
+ % !
将条件 ,时 !； 时 !!)代入， 得! , · + %，!!) + %
{ !
- !
， % !!
故 !
+ !!
解决以上问题的关键是明确物体的重量 与
弹簧的长度 间的函数关系
+ % !
其中， ， % 是待定系数!再根据已知条件列出 ， %
的方程组解出!
以上方法就是待定系数法!! !这种方法的特点是：
判断所研究问题的结构具有某种确定的形
式， 其中含有某些待定的系数；
根据题设条件找出待定系数的数量关系式；
根据以上关系式， 解出这些系数的值、 存在
的范围或彼此的关系!
特点 中所说的 “待定系数的数量关系” 可以
是方程或方程组， 不等式或不等式组， 或者是方程与
不等式的混合组!
待定系数法是解决 “含参问题” 的通法， 具有一
定的指导意义， 因此可以说， 它体现着一种数学思
想， 即方程与不等式的思想!
二、 应用举例
例! 已知多项式
% 能被
整除， 求证： % % !
证明 设商式为 (， 则
% % ( (
)
%
(
(’
比较对应项的系数， 得
% (，% %， % (’
{ !!% % !
例 满足等式
)
%) 的正实数， )， 能
使关于 ， 的多项式 ) !分解成两个一
次因式之积， 求， ) 的值!
解 设 ) ! % ( ) (% )! ! ! !% %
比较对应项系数， 得! ! ， % ! ， !% !， ! ( )
所以( ! !% ! ) !
图 %
(， ( (，)
!(，+ ( ! , !’( )
将!代入， 得 ( ! ,)
由!， 可解得
!
,)
! )
， ( !
,)
% ! )；
或 !
,)
% ! )
， ( !
,)
! ))
例! 已知函数 ! !)
的图象经过原
点 ((， ， + (，% ) ， , ， ， 在图象上有点 -， 满
足- ! -( .， 试求点 - 的坐标)
解 如图 —， 因为点 ((， ，+ (，% ) ，, ， 在函数 ! !)
的图象上， 所以
! (，! ! % ，.! ) ! (
{ )
解得 ! ! ， ! % )， ! 所以， 已知二次函数的
解析式是
! )
% ) )
因为点 + 的坐标为 (，% ) ， 且- ! -( .， 所以
-, ! . .， 于是点 - 在第
一象限的角平分线上)
设点 - 的坐标为 (， ) ，将它代入 ! )
% )， 得! !!
! %
解得 ! ， !! % (舍去)
故点 的坐标为 (， )
例 ! 已知函数
%!!! ( ! !!
的最大值为)， 最小值为 ， 求此函数的解析式
解 将原式变形为
( %) !!! ( ! ( ) %
!+，,! ( ! ( ) !
( ( %) ( ) %， 即
!
(% ) (% !) % !
)， 则 ( ) ( )) %， 即
!
- )%
比较!， 的系数， 有
% -，% ! )
{
% % .，
{
或 % ， .
{
故所求的函数解析式为
.!!! ( ! !!
或 !!! ( .!!
例 具有公共焦点的椭圆与双曲线的中心均
在原点， 对称轴是坐标轴， 焦点在 ! 轴上， 其离心率
互为倒数， 虚轴长与长轴长之比为 !
， 焦点到渐近
线的距离为 ， 求椭圆与双曲线方程
解 设椭圆与双曲线的方程分别为!!
%!
!
%!
! 与 !!
!
!
!
! ，其公共焦点为 ( ( ， %) ， 离心率分别为
% ，’
， 双
曲线的渐近线方程为
!
! !
! ! 因为它们的离心率互为倒数， 则!
·!
! !
因为虚轴长与长轴长之比为
， 则!
!
!
因为双曲线的焦点到渐近线的距离为 ， 则! !
! !!
由!， ， 解得 ! ， ! ， ! ! !
故所求的椭圆和双曲线方程分别为
%
%
! 和 %
!
例 ! 已知椭圆：%
%! ， 直线 (： ! %
) 如果 上存在着关于 ( 对称的不同两点， 求 )
的取值范围
图 (
解 因直线 ( 的斜率 ! ， 设与 ( 垂直的直线 (+的
方程为 !
% (如图
(—) 由 (+与’ 有两个不同
的交点， 则有
!
% ，%
!
{
消去 ， 整理得)%
%% %
! +，, !!
% · ) (%
) - + !
设 (+与’ 的交点为 , (%， ) ， - (%， ) ， 线段
,- 的中点为. (%+， +) ， 于是! ! !! !
!
%
， !
! !
%
{ %
在直线’ 上，(
%! ·
%
( % !
由得 ) ，
由!得 !
%
(，
代入得 +
,(
) %
( !
%) ( ) !
%
%
故 ( 的取值范围是 ( !
%
，!
%) %
第四节 数学归纳法
一、 归纳法
同学们大概还记得， 在学习同底数的正整数幂
的乘法法则时， 是从观察下列乘法开始的：)
·)%! ·)) ·)·))! )·)·)·)·) ! )-；
%
·,! (··) · (···)! ······ ! .；!-
·!-! (!…{!) (!…{!) ! (!·!… {!) ! !
%
-个 ! -个 ! 个 !
我们可以看到， 以上运算的共同特点是等号左
边的两个因式是同底的幂， 右边的结果也是幂的形! 式， 其底数与左边相同， 指数恰好等于左边两个幂指
数之和!
如果掌握了这一规律， 那么， 在进行同底数的幂
的运算时， 就可以省去中间过程， 直接得到结果!如，!
·!
%；
!!
·%!
%!
一般地， 若 ， 是正整数， 则
% ·%
% !
这就是同底数幂的乘法法则!
以上采用的方法， 就是归纳法!
所谓归纳法， 是由个别 (特殊) 的情形作出判断，扩大到对一般事物的判断的一种推理方法!简言之，是一种由特殊到一般的推理方法!
与归纳法相反的情形， 即由一般到特殊、 由整体
到个别情形的推理方法， 叫做演绎法!
归纳法和演绎法是两种基本的推理方法， 也是
数学推理的两种基本方法!
二、 归纳法得到的结论一定正确吗
请看两个例题!
例 ! 我们知道， 三角形内角和为 !( ；
四边形， 可以用一条对角线将它分为两个三角
形， 其内角和为 % ) !( ；
五边形， 可以用从一个顶点画出的两条对角线
将它分为 个三角形， 其内角和为 ) !( ；
六边形， 可以用从一个顶点画出的三条对角线
将它分成 个三角形， 其内角和为 ) !( ；! ……!
从以上情形可以看出， 它们的共同点是： 被从一
个顶点画出的对角线分成的三角形数是边数减 !，其内角和是 与边数减去 ! 的差之积!于是可以
归纳出：
边形内角和% ( !) !
例! 已知函数 (%) % %!
( % ( ， 我们用
表示 % % 时的值!令 % ， !， …， )， 得
% ， 是质数；
% +， 是质数；
() % !， 是质数；
(,) % ， 是质数；
(-) % ,， 是质数；
(.) % -， 是质数；
(+) % .+， 是质数；
% ， 是质数；
% ， 是质数!
于是归纳为： 当 % 取一切正整数时， (%)% %!
( % (
的值是质数!
以上两例都是用归纳法得出了一般性的结论!
例 的结论是正确的， 可以对其进行严格的证明； 例!的结论则不正确， 事实上!
% !
( ( % ! %
并非质数
还有一个著名的例子
被誉为业余数学家之王的法国 + 世纪数学家
费马考查了
% !!
( (费马数)! 的值， 得到了如下结果：! !
% ，! (%)
%
%’，!
% %(，!
% )
(，! ()
% %+
% +’’(
以上结果中的每一个都是质数， 于是费马作出
了如下判断： 对于一切自然数， 式子 !
%
的值都是质数
费马失误了 , 一个世纪后的 %( 年， 瑞士大数
学家欧拉计算出!
%
% --+(-(
是一个合数， 它等于 +% . +(!!%(以后， 人们还举
出了 个费马数是合数除此以外， 新的费马数还
一个也未找到
由此可见， 用归纳法得出的结论并非完全正确
正如革命导师列宁曾经指出的 “用最简单的归纳方
法所得到的最简单的真理， 总是不完全的， 因为经验
总是不完备的”
三、 怎样保证归纳的结论的
正确性呢
归纳法， 是发现和探索问题的结论的重要手段
但是， 怎样保证归纳的结果的正确性呢？
一般地， 有以下几种方法! ! 枚举归纳
如果研究的对象是有限的， 我们可以一一对他
们进行考查， 用这种方法归纳出的结论肯定是正确
的!这种对被研究的对象一一考查后， 得出结论的归
纳方法叫做枚举归纳法!
例! 周长为 !， 各边长互不相等的三角形有
多少个？
解 不妨设 ， 则
% % !， !
% !
{
由!， 得 % ! ， 代入得! !
又 !!
% (， ( ，而 是整数， 故 % ((， (+， (!， (,!
当 % ((时： % (， % -!
当 % (+时： % ((， % .； % (， % !
当 % (!时： % (+， % )； % ((， % 0； % (， % .； % -， % !
当 % (,时： % (!， % !； % (+， % ,； % ((， % )； % (， % 0； % -， % .!
故满足条件的三角形共有 (+个!
分类讨论
如果研究的对象是无穷多个， 当然不可能对它
们一一研究， 即不可能用枚举归纳法!即使研究的对
象是有限的， 但是如果数量很大， 也不便用枚举归纳! 法!这时， 可以按照某一标准， 将研究对象分为几类，逐一对每一类进行讨论， 这样归纳出的结论， 也是正
确的!这种方法叫做分类讨论!
例! 平面上有 、 、 、 % 四点， 其中任意三点
不在同一条直线上， 求证： !、 !%、 !%、!% 中至少有一个三角形的一个内角不超过! !
分析 由于四点 、 、 、 % 在平面上的位置会
影响到以它们为顶点的三角形的形状， 因此， 应考虑
此四点所处的位置的不同情况!
无三点共线的四点的位置无非两种情况： 一是
它们是一个凸四边形的四个顶点， 另一是它们不是
一个凸四边形的四个顶点!
证明 平面上无三点共线的四点 、 、 、 % 的
位置可分为如下两种情形：
若 、 、 、 % 是一个凸四边形的四个顶点
(如图 —左) !因为
图 %
% % % ，所以， 其中至少有一个角不超过 ) ， 不妨设%
) ， 而
% %，所以， 与% 中至少有一个角不超过 ! !! (!) 若 !、 、 、 不是凸四边形的四个顶点， 则
必有一点在以其他三点为顶点的三角形内%不妨设
在!! 内 (如图 —右) %因为
! ! ! %( ，所以， !、 !、 ! 中至少有一个角不超
过 )( ， 不妨设!)( %而
! % ! !，所以， !、 ! 中至少有一个角不超过 ( ， 当
然也不超过 %
根据 ， ， 命题获证%
分类讨论的详细研究， 在后面的第六章第四节%! 数学归纳法
有一些问题是涉及到关于自然数 的命题， 被
研究的对象无穷多%
例如， 证明 (式中 为正整数)
!
…
% [’ (’ )!
] !；
!
…
!’
+
, (’ - ) %
我们不能逐一考查它， 也不便进行分类， 枚举归
纳法和分类讨论法均难奏效， 这时， 就要用到数学归
纳法%
四、 数学归纳法及其应用
什么是数学归纳法
高中数学课本对数学归纳法作了详细的讲解：! !对于由归纳法得到的某些与自然数有关的命
题， 我们经常采用下面的方法证明它的正确性： 先证
明当 ! 取第一个值 !! (例如 !! ) 时命题成立， 然
后假设当 ! (!， !!) 时命题成立， 证明当 !
% 时命题也成立这种证明方法叫做数学归纳
法
用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的
步骤是：
证明当 ! 取第一个值 !! (例如 !! 或
等) 时结论正确；
假设 ! (!， 且 !!) 时结论正确， 证
明当 ! % 时， 结论也正确
在完成了这两步以后， 就可以断定这个命题对
于从 !! 开始的所有自然数 ! 都正确
华罗庚先生在 《数学归纳法》 这本小册子中， 用
“小孩识数” 这一通俗的例子来说明数学归纳法的实
质： “会数 ； 会数 个数就会数它的下一个数， 从而
也就会数一切数”
还有一个有趣的例子同学们在电视里见过多
米诺骨牌如果场地和时间允许的话， 可以让骨牌无
限地摆下去多米诺骨牌具备两个条件： 推倒第
一块骨牌； 若某一块骨牌倒下了， 那么它后面的
一块也会倒下于是可以说所有的骨牌都可以倒下
例! 用数学归纳法证明 ! %
%
! %
% … %
!
(
)
(!)
证明 当 ! 时， 左边
%
%
%
(! !
%
(
， 不等式成立!
假设 (!) 时， 不等式成立， 即
! !
! ! …!
(
!
当 ! 时，左边
! !
! (! …!
!
! !
!
(
! !
! ! … !
)!
! !
! )
!
(
!
( ! ) ! ( ! ) ) ( ! )
( ! ) ( ! )
(
!
( ! ) ( ! )’
(
这就是说， ! 时， 不等式成立!
根据 和 ， 原不等式对任何不小于 的自
然数恒成立!
例 ! 用数学归纳法证明
(! (! … ! (! ( (! ! … ! )
(
( ! ) (
(+) !
证明 当 时， 左边 (! ( ·
， 右边
(
( ! ) (
， 等式成立!
假设 时等式成立， 即
(! (! … ! (! (· (! ! … ! )
(
( ! ) (
!
当 ! 时，(! (! …! (! ( ! ) (! (· [! ! … ! !
( ! )
]! !
%
… !
· (
%
… !)(! )
(! ) !!
(! )
%
(! )
· (! ) !
(! )
%
[!
% (! ) %
]!
%
(! )
[ (! ) ]
这就是说， ! ! 时等式成立
根据 和 (%) ， 对 !(等式成立
例 ! 已知数列{} 的通项 ! %
试问是
否存在常数 %， ， 使等式
% %
…
!
%%
) ( ) ( %)
对一切自然数 都成立
分析 上述例 ， 例 % 的结论都是肯定的， 题目
只要求用数学归纳法证明本例与例 ， 例 % 不同的
是我们并不知道是否存在 %， ，， 使 成立因
此， 只有先猜测出 %， ， 之值， 才有可能利用数学
归纳法去证明此属探索性问题
解 令 ! ， %， ， 得方程组
!
%
%)
，
% %!)% % )
，
% %
!
+%
,?
即
% ! ，)% % ! %%，+% ! )%
{ ! 解得 ! ! ， ! ， !
%
%
( %(
…’
%!
(
) ( ) ( (!!)
以下用数学归纳法证明
当 ! 时， 等式成立
( 假设 ! 时等式成立， 即
%
( %(
…’
%’!
(
) (’ ) (’
当 ! 时，
%
( %(
…’
%’
(’ ) %’ !
(
) (’ ) (’
(’ ) [ (’ ) (
(’ ) ]!
(
) (’ ) (’
(’ ) (’ )!
)’(
+) (’ ) (’ (’ )!
(’ )
(’ ) (’ ) (’ (’ )!
(’ ) (
(’ )) (’ (’ )
这就说明， ! 时 (!!) 成立 ,由 和 ( 知， 对一切 -， (!!) 成立 ,例 ! 用数学归纳法证明：
(
)
…’
(
.
( 0 )
证明 ! (时，左式!
(
!
1
，右式! (，%左式 右式， 原不等式成立! (!) 假设 ! 时不等式成立， 即
!
%
…
!
!
当 ! 时，左边
!
%
…
!
! …
!
! …
!
! ……
!
?
?
!
个 !
右边，这就是说， 原不等式当 ! 时也成立
根据 和 知， 原不等式对任何大于 的自
然数都成立
数学归纳法能证明的问题非常广泛， 包括代数
中的恒等式、 不等式、 数列问题、 整除问题， 以及三角
的、 几何的问题等等数学归纳法还有许多变式， 如
被称为 “第二数学归纳法” 的步骤是：
验证 ! 时命题成立；
假设当 !!! 时命题成立， 推出 !
时命题成立
根据 和 知， 对一切自然数命题成立
例 ! 设无穷数列 ， !， %， …， !， …由关系
式
! ! ( %) ! %! ( (!)
以及 ， ! % ((， % 确定， 试用数学! 归纳法证明： ! 可以由首项为， 公比为 的等比数
列前 项和来表示%
证明 当 !和 时， 由题设!! 及! (!%， !%)
知命题显然成立%
假定 为自然数%对于 ! 命题都成
立， 则! !
…
，!
…
!
，’ ! ! (! ) ! ! ! %，( ! ! ! (! ! !) %%
! ! !
!
，( ! ! ! ·
!
!
…
!
%
所以， ! !是以 为首项， 为公比的数列的前 !
项之和%
由 和 知， 命题对所有的自然数 都成立%
又如被称为 “跳跃归纳法” 的步骤为：
验证当 !， ， …， 时命题成立；
假设 时， 推出当 时命题成
立%
根据 和 知， 命题对一切自然数都成立%
例 ! 对于 ( ) % 及 ， 试用数学归纳法证
明
(
(
…!
( !
( !%
证明 !时， ( !
( ! !， 不等式成
立%! ! ! 时，
%
! %， 不等式成立
设 ! ! 时， 不等式成立即
…
%
%
! %
当 ! ! 时，
…
%
%
%
!
%
%! % ! ( ) %，即 ! ! 时， 不等式成立，故对于 及 !(， !
!
…
%
!
%
! !! %成立
例 ! 商店有大量 ) 千克和 千克两种包装的
白砂糖 + 证明： 不论买多少不少于 , 千克的整千克
数的白砂糖， 都不用拆包而直接提取
证明 (%) 验证买糖的千克数 ! 为 , 至 % 时不
用拆包事实上， , ! ) ， - ! ) . )， % ! ， %% ! )
. ， % ! ) . ， %) ! . )， % ! ) . ) ， % !
. )
假设 ! ! (!,) 时成立， 即买 , 千克以上
整千克数的白砂糖不用拆包则! ! ,时， 由于 , ! )， 只要再加上 ) 千克
和 千克的白砂糖各一包即可
根据 (%) 和 ， 命题获证 +
数学归纳法还有一些变式， 同学们可阅读有关
的书籍! 第六章 数学思想— — —数学
解题的灵魂
第一节 什么是数学思想
一、 从二元一次方程组的解法谈起
先看一道二元一次方程组的求解题!
解方程组：! % ， !
% !
{
解法一： 由!得： % ! !
代入得： (! ) % ，( % )，
代入得 % !
(
% )，
{ %
是原方程组的解!
解法二： ! 得 +, % )，( % )!
将 % )代入得 % !
(
% )，
{ %
是原方程组的解 -
解法一是代入消元法， 解法二是加减消元法!
代入消元法和加减消元法是解二元一次方程组! 的两种基本方法!这两种方法操作程序不同， ......
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